Gamma 函数欣赏

Each generation has found something of interest to say about the gamma function. Perhaps the next generation will also.

—Philip J.Davis

Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让德、威尔斯特拉斯、柳维尔等等。这个函数在现代数学分析中被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。Gamma 函数作为阶乘的推广，首先它也有和 Stirling 公式类似的一个结论

Γ(x)∼2π−−√e−xxx−12

另外， Gamma 函数不仅可以定义在实数集上，还可以延拓到整个复平面上。

复平面上的Gamma 函数

frist derivative

nxn−1，

second derivative

n(n−1)xn−2，

third derivative

n(n−1(n−2)xn−3，

⋯

k-th derivative

n(n−1(n−2)⋯(n−k+1)xn−k=n!(n−k)!xn−k，

由于k阶导数可以用阶乘表达，于是我们用Gamma 函数表达为

Γ(n+1)Γ(n−k+1)xn−k

于是基于上式，我们可以把导数的阶从整数延拓到实数集。例如，取n=1,k=12我们可以计算 x 的 12阶导数为

Γ(1+1)Γ(1−1/2+1)x1−1/2=2x√π−√

很容易想到对于一般的函数 f(x) 通过 Taylor 级数展开可以表达为幂级数，于是借用 xn 的分数阶导数，我们可以尝试定义出任意函数的分数阶导数。不过有点遗憾的是这种定义方法并非良定义的，不是对所有函数都适用，但是这个思想却是被数学家广泛采纳了，并由此发展了数学分析中的一个研究课题：Fractional Calculus,在这种微积分中，分数阶的导数和积分都具有良定义，而这都依赖于 Gamma 函数。

Gamma 函数和欧拉常数γ 有密切关系，可以发现

γ=−dΓ(x)dx|x=1=limn→∞(1+12+13+⋯+1n–logn)

进一步还可以发现 Gamma 函数和黎曼函数ζ(s)有密切联系，

ζ(s)=1+12s+12s+⋯

而ζ 函数涉及了数学中著名的黎曼猜想和素数的分布定理。希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来,他将问的第一个问题便是:黎曼猜想得到证明了吗？

logΓ(x)

从Gamma 函数的图像我们可以看到它是一个凸函数, 不仅如此, logΓ(x) 也是一个凸函数，数学上可以证明如下定理:

[Bohr-Mullerup定理] 如果 f:(0,∞)→(0,∞),且满足

f(1)=1

f(x+1)=xf(x)

logf(x) 是凸函数

那么 f(x)=Γ(x), 也就是 Γ(x)是唯一满足以上条件的函数。

如下函数被称为 Digamma 函数，

Ψ(x)=dlogΓ(x)dx

这也是一个很重要的函数，在涉及求Dirichlet 分布相关的参数的极大似然估计时，往往需要使用到这个函数。Digamma 函数具有如下一个漂亮的性质

Ψ(x+1)=Ψ(x)+1x

函数Ψ(x)和欧拉常数γ 以及 ζ 函数都有密切关系，令

Ψn(x)=dn+1logΓ(x)dxn+1

则 Ψ0(x)=Ψ(x),可以证明

Ψ(1)=−γ,Ψ(2)=1−γΨ1(1)=ζ(2)=π26,Ψ2(1)=−2ζ(3)

所以Gamma 函数在数学上是很有魅力的，它在数学上应用广泛，不仅能够被一个理科本科生很好的理解，本身又足够的深刻，具有很多漂亮的数学性质，历史上吸引了众多一流的数学家对它进行研究。美国数学家 Philip J.Davis 写了篇很有名的介绍 Gamma 函数的文章：“Leonhard Euler’s Integral:A Historical Profile of the Gamma Function”，文中对 Gamma 函数一些特性发现的历史进行了很详细的描述，这篇文章获得了 Chauvenet Prize(美国数学会颁发的数学科普最高奖)。