伽玛函数_gamma

词义

　　伽玛函数(Gamma Function)作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成Γ(x). 　　

　　当函数的变量是正整数时，函数的值就是前一个整数的阶乘，或者说Γ(n+1)=n!。

公式

　　伽玛函数表达式：Γ(x)=∫e^(-t)*t^(x-1)dt (积分的下限是0,上限是+∞) 　　

利用分部积分法(integration by parts)我们可以得到　　Γ(x)=（x-1)*Γ(x-1) ，而容易计算得出Γ(1)=1, 　　

由此可得, 在正整数范围有：Γ(n+1)=n! 　　

在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：　　f(x)=λe^(-λx)(λx)^(x-1)/Γ(x) x>=0 　　=0 x<0 　　

函数表达式：右图

性质

　　Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！，Γ(1-x)Γ(x)=π/sin(πx) 　　对于x>0,伽马函数是严格凸函数。　

　伽马函数是亚纯函数，再复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马函数在-k处的留数为(-1)^k/k!

斯泰林渐进式

　　英文Stirling's approximation: 　　lnΓ(x) = (x-1/2)ln(x)-x+ln(2π)/2+ΣB_{2n}/(2n(2n-1)x^{2n-1}),这里，后面的求和中n从1到无穷大。其中 B_{2n}是贝努力数。前几个贝努力数是B_2=1/6,B_4=-1/30,B_6=1/42,B_8=-1/30,B_10=5/66等。通常，我们常将后面Σ中全部舍去，将它称为斯泰林公式。

Digamma函数

　伽玛函数的自然对数的微分称为Digamma函数，记为Ψ(x)=d(lnΓ(x))/dx=Γ'(x)/Γ(x)。　

　Digamma函数同调和级数相关，其中Ψ(n+1)=H_n(x)-γ=1+1/2+...+1/n-γ,其中γ=lim_{n->infty} (1+1/2+...+1/n-ln(n))是欧拉常数。

而对于任意x有 Ψ(x+1)= Ψ(x)+1/x。　　

在复数范围内，Digamma函数可以写成 Ψ(x+1)=-γ+Σx/(n(n+x)).

而Digamma函数的泰勒展开式为　　Ψ(x+1)=-γ-Σζ(n+1)(-x)^n,其中函数ζ(x)为黎曼zeta函数，是关于黎曼猜想的一个重要函数。　

类似伽玛函数，Digamma函数可以有渐进式: Ψ(x)=ln(x)-1/(2x)-ΣB_{2n}/(2n*x^{2n})

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