从积性函数到莫比乌斯反演

积性函数

积性函数：对于数论函数 fff ，若任意互质的 p,qp,\ qp, q 都有 f(pq)=f(p)f(q)f(pq)=f(p)f(q)f(pq)=f(p)f(q) ，则称 fff 是积性函数。
完全积性函数：对于数论函数 fff ，若任意的 p,qp,\ qp, q 都有 f(pq)=f(p)f(q)f(pq)=f(p)f(q)f(pq)=f(p)f(q) ，则称 fff 是完全积性函数。
定义逐点加法：(f+g)(x)=f(x)+g(x),(f⋅g)(x)=f(x)g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x),\ \ \ (f\cdot g)(x)=f(x)g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x), (f⋅g)(x)=f(x)g(x) 。

定理：积性函数一定满足 f(1)=1f(1)=1f(1)=1 。
证明：设 f(a)≠0f(a)\ne 0f(a)=0 ，则 f(a)=f(1×a)=f(1)f(a)f(a)=f(1\times a)=f(1)f(a)f(a)=f(1×a)=f(1)f(a) 。显然 f(1)=1f(1)=1f(1)=1 。

定理：对于任意的 n>1,n=p1a1p2a2⋯psasn>1,\ n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}n>1, n=p1a1p2a2⋯psas ，则对积性函数 fff 有： f(n)=∏i=1sf(piai)f(n)=\prod_{i=1}^{s}f(p_i^{a_i})f(n)=∏i=1sf(piai) 。

凡是积性函数都可用线性筛求。

若 f,gf,\ gf, g 是积性函数，则下列函数也是积性函数。
h(x)=f(xp)h(x)=fp(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)=∑d∣xf(d)g(xd)\begin{aligned} h(x) =& f(x^p)\\ h(x) =& f^p(x)\\ h(x) =& f(x)g(x)\\ h(x) =& \sum_{d\mid x}f(d)g(\dfrac{x}{d}) \end{aligned} h(x)=h(x)=h(x)=h(x)=f(xp)fp(x)f(x)g(x)d∣x∑f(d)g(dx)

常见积性函数

定义：在 全体正整数（或全体整数）上定义的函数称作数论函数或算术函数。（当然，更一般些，也可把数论函数看作是在某一整数集合上定义的函数。）
下面来列举一些定义在全体自然数集合上的数论函数。

狄利克雷卷积的单位元 ε(n)\varepsilon(n)ε(n)
ε(n)={1n=10n>1\begin{array}{l} \varepsilon(n)= \left\{\begin{matrix} 1\ \ \text{}n=1 \\ 0\text{}\ \ n>1 \\ \end{matrix}\right. \end{array} ε(n)={1 n=10 n>1
除数函数 σλ(n)\sigma_\lambda(n)σλ(n) ，λ\lambdaλ 为实数。 σλ(n)=∑d∣ndλ\sigma_\lambda(n)=\sum_{d\mid n}d^{\lambda}σλ(n)=∑d∣ndλ 。
- 当 λ=0\lambda=0λ=0 ， nnn 的所有正因子数目，通常记作 d(n)d(n)d(n) 或 τ(n)\tau(n)τ(n) ，d(n)=∑d∣n1d(n)=\sum_{d\mid n}1d(n)=∑d∣n1 。
- 当 λ=1\lambda=1λ=1 ， nnn 的所有正因子和，通常记作 σ(n)\sigma(n)σ(n) ，σ(n)=∑d∣nd\sigma(n)=\sum_{d\mid n}dσ(n)=∑d∣nd 。
idk(n)=nkid^k(n)=n^kidk(n)=nk ，幂函数
id(n)=nid(n)=nid(n)=n ，单位函数（恒等函数）
111(n)=id0(n)=n0=1,n⩾1(n)=id^0(n)=n^0= 1,\ \ n\geqslant 1(n)=id0(n)=n0=1, n⩾1 不变函数
欧拉函数 φ(n)\varphi(n)φ(n) ，φ(n)=∑1⩽d⩽n(d,n)=11\varphi(n)=\sum_{1\leqslant d\leqslant n\\ \ (d,\ n)=1}1φ(n)=∑1⩽d⩽n (d, n)=11
莫比乌斯函数 μ(n)\mu(n)μ(n)
μ(n)={1n=10n含有平方因子(−1)kk为 n的本质不同质因子个数 \mu(n)= \begin{cases} 1 & n=1\ \\ 0 & n\text{ 含有平方因子}\\ (-1)^k & k\text{ 为 }n\text{ 的本质不同质因子个数}\ \end{cases} μ(n)=⎩⎪⎨⎪⎧10(−1)kn=1 n 含有平方因子k 为 n 的本质不同质因子个数

莫比乌斯函数

性质：∑d∣nμ(d)=[n=1]\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]∑d∣nμ(d)=[n=1] 。即 ∑d∣nμ(d)=ε(n)\sum_{d\mid n}\mu(d)=\varepsilon(n)∑d∣nμ(d)=ε(n) ，μ∗1=ε\mu*1=\varepsilonμ∗1=ε ，∗*∗ 为狄利克雷卷积。
证明：当 n=1n=1n=1 时，显然成立。设 n=p1α1p2α2⋯psαsn=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}n=p1α1p2α2⋯psαs ，则由 μ(n)\mu(n)μ(n) 的定义知

∑d∣nμ(d)=μ(1)+μ(p1)+⋯+μ(ps)+μ(p1p2)+⋯+μ(ps−1ps)+⋯+μ(p1p2⋯ps)=1+(s1)(−1)+(s2)(−1)2+⋯+(ss)(−1)s=0\qquad\qquad\qquad \begin{aligned}\sum_{d\mid n}\mu(d) &=\mu(1)+\mu(p_1)+\cdots+\mu(p_s)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_{s-1}p_s)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_s)\\ &= 1+\dbinom{s}{1}(-1)+\dbinom{s}{2}(-1)^2+\cdots +\dbinom{s}{s}(-1)^s \\ &=0 \end{aligned}d∣n∑μ(d)=μ(1)+μ(p1)+⋯+μ(ps)+μ(p1p2)+⋯+μ(ps−1ps)+⋯+μ(p1p2⋯ps)=1+(1s)(−1)+(2s)(−1)2+⋯+(ss)(−1)s=0

由上可知，对于整数 i,ji,\ ji, j ，有 [gcd⁡(i,j)=1]=∑d∣gcd⁡(i,j)μ(d)[\ \gcd(i,\ j)=1\ ]=\displaystyle\sum_{d\mid \gcd(i,\ j)}\mu(d)[ gcd(i, j)=1 ]=d∣gcd(i, j)∑μ(d) 。

数论函数 fff 的 莫比乌斯变换： F(n)=∑d∣nf(d)F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)F(n)=∑d∣nf(d) 。 FFF 也称作 fff 的和函数。
由和函数 FFF 求 fff 的操作称为 莫比乌斯反演 ： f(n)=∑d∣nμ(d)F(nd)f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)F(\dfrac{n}{d})f(n)=∑d∣nμ(d)F(dn) 。

μ\muμ 是积性函数。
证明：

线性筛求莫比乌斯函数。

int p[N], cntp;
bool st[N];
int mu[N];
void get_mu(int n)
{mu[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++){if(!st[i])p[++cntp] = i, mu[i] = -1;for(int j = 1; p[j] <= n / i; j++) {st[p[j] * i] = true;if(i % p[j] == 0) {mu[p[j] * i] = 0;break;}mu[p[j] * i] = -mu[i];}}
}

Dirichlet 卷积

定义：若 f,gf,\ gf, g 是两个数论函数，则 f,gf,\ gf, g 的狄利克雷卷积是 (f∗g)(n)=∑d∣nf(d)g(nd)(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(\dfrac{n}{d})(f∗g)(n)=∑d∣nf(d)g(dn) 。

运算规律

交换律：f∗g=g∗ff*g=g*ff∗g=g∗f
证明：(f∗g)(n)=∑d∣nf(d)g(nd)=∑d∣nf(nd)g(d)=(g∗f)(n)(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(\dfrac{n}{d})=\sum_{d\mid n}f(\dfrac{n}{d})g(d)=(g*f)(n)(f∗g)(n)=∑d∣nf(d)g(dn)=∑d∣nf(dn)g(d)=(g∗f)(n) 。

结合律：f∗(g∗h)=(f∗g)∗hf*(g*h)=(f*g)*hf∗(g∗h)=(f∗g)∗h
证明：设 G=g∗hG=g*hG=g∗h ，(f∗G)(n)=∑ad=nf(a)G(d)=∑ad=nf(d)∑bc=dg(b)h(c)=∑abc=nf(a)g(b)h(c)(f*G)(n)=\sum_{ad=n}f(a)G(d)=\sum_{ad=n}f(d)\sum_{bc=d}g(b)h(c)=\sum_{abc=n}f(a)g(b)h(c)(f∗G)(n)=∑ad=nf(a)G(d)=∑ad=nf(d)∑bc=dg(b)h(c)=∑abc=nf(a)g(b)h(c) 。
设 F=f∗gF=f*gF=f∗g ，可得到相同结果。

莫比乌斯变换

定理：III 为卷积中的单位元素，亦即 f∗I=I∗f=ff*I=I*f=ff∗I=I∗f=f 。
证明：(f∗I)(n)=∑d∣nf(d)I(nd)=f(n)(f*I)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)I(\dfrac{n}{d})=f(n)(f∗I)(n)=∑d∣nf(d)I(dn)=f(n) 。

定义：若 F=f∗uF=f*uF=f∗u ，则 FFF 称为 fff 的莫比乌斯变换，即 F(n)=∑d∣nf(d)F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)F(n)=∑d∣nf(d) 。

莫比乌斯反演

定理：若 F=f∗uF=f*uF=f∗u ，则 f=F∗μf=F*\muf=F∗μ 称为 FFF 的莫比乌斯反演。
证明： F∗μ=(f∗u)∗μ=f∗(u∗μ)=f∗I=fF*\mu=(f*u)*\mu=f*(u*\mu)=f*I=fF∗μ=(f∗u)∗μ=f∗(u∗μ)=f∗I=f 。