莫比乌斯反演

AcWing 2702. problem b

自己推导：

直接代入公式：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>using namespace std;
const int N = 500007, M = 500007,INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;int read()
{int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch > '9' || ch < '0'){if(ch == '-')f = -1; ch = getchar();}while(ch <= '9' && ch >= '0'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return x * f;
}int a, b, c, d, k;int mu[N];
int primes[N], cnt;
bool vis[N];void get_mu(int n)
{memset(vis, 0, sizeof vis);memset(mu, 0, sizeof mu);cnt = 0, mu[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++ i){if(vis[i] == 0){primes[ ++ cnt] = i;mu[i] = -1;}for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j){vis[primes[j] * i] = 1;if(i % primes[j] == 0) break;mu[i * primes[j]] -= mu[i];}}for(int i = 1; i <= n; ++ i)mu[i] += mu[i - 1];
}int solve(int n, int m)
{n /= k, m /= k;int res = 0;for(int i = 1, j; i <= min(n, m); i = j + 1){j = min(n / (n / i), m / ( m / i));//j是右边界，这里的值都是ires += (mu[j] - mu[i - 1]) * (n / i) * (m / i);}return res;
}
int n, m;int main()
{get_mu(N - 1);scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; ++ i){a = read(), b = read(), c = read(), d = read(), k = read();int ans = solve(b, d) - solve(b, c - 1) - solve(a - 1, d) + solve(a - 1, c - 1);printf("%d\n", ans);}return 0;
}

AcWing 1358. 约数个数和（莫比乌斯反演经典、双上限整除分块）

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 50007;typedef long long ll;int n, m, t;
int primes[N];
ll res;
bool vis[N];
int mu[N];
int sum[N];
int cnt;
int H[N];int g(int k, int x) {return k / (k / x);}void init(int n)
{mu[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++ i) {if(vis[i] == 0) {primes[ ++ cnt] = i;mu[i] = -1;}for(int j = 1; j <= cnt && primes[j] * i <= n; ++ j) {vis[i * primes[j]] = true;if(i % primes[j] == 0) break;mu[i * primes[j]] = -mu[i];}}for(int i = 1; i <= n; ++ i) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];for(int i = 1; i <= n; ++ i) {for(int l = 1, r; l <= i; l = r + 1) {r = min(i, g(i, l));H[i] += (r - l + 1) * (i / l);}}
}int main()
{cin >> t;init(N - 1);while(t -- ) {res = 0;scanf("%d%d", &n, &m);int k = min(n, m);for(int l = 1, r; l <= k; l = r + 1) {r = min(k, min(g(n, l), g(m, l)));res += ((ll)sum[r] - sum[l - 1]) * H[n / l] * H[m / l];}printf("%lld\n", res);}return 0;
}

积性函数

证明 μ(x)\mu(x)μ(x) 是积性函数
a=p1α1×p2α2×⋯×pnαka=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times \cdots \times p_n^{\alpha_k}a=p1α1×p2α2×⋯×pnαk
b=p1β1×p2β2×⋯×pnβtb=p_1^{\beta_1}\times p_2^{\beta_2}\times \cdots \times p_n^{\beta_t}b=p1β1×p2β2×⋯×pnβt
a×b=p1α1×p2α2×⋯×pnαk×p1β1×p2β2×⋯×pnβta\times b=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times \cdots \times p_n^{\alpha_k}\times p_1^{\beta_1}\times p_2^{\beta_2}\times \cdots \times p_n^{\beta_t}a×b=p1α1×p2α2×⋯×pnαk×p1β1×p2β2×⋯×pnβt

若 μ(a)=0\mu(a)=0μ(a)=0或μ(b)=0\mu(b)=0μ(b)=0，则μ(a×b)=0\mu(a\times b)=0μ(a×b)=0（因为均含αor β>1\alpha\ \text{or}\ \beta>1α or β>1）

即μ(a×b)=μ(a)×μ(b)\mu(a\times b)=\mu(a) \times \mu(b)μ(a×b)=μ(a)×μ(b)

若 μ(a)≠0\mu(a)≠0μ(a)=0或μ(b)≠0\mu(b)≠0μ(b)=0，则μ(a×b)=(−1)k+t=(−1)k×(−1)t=μ(a)×μ(b)\mu(a\times b)=(-1)^{k+t}=(-1)^{k}\times(-1)^t=\mu(a) \times \mu(b)μ(a×b)=(−1)k+t=(−1)k×(−1)t=μ(a)×μ(b)

常见积性函数

φ(n) －欧拉函数
μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况
d(n) －n的正因子数目
σ(n) －n的所有正因子之和
σk(n) －因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。
1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）
Id(n) －单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）
Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）
ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
另外，所有狄利克雷特征均是完全积性的

AcWing 221. 龙哥的问题

【数学专题】莫比乌斯反演与积性函数相关推荐

解题报告（十五）莫比乌斯反演与积性函数（ACM / OI）
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划好久没写反演了,写些水题慢慢捡起来目录 A. (BZOJ 2440: 中山市选2011 )完全平方数 ...
【算法讲7：积性函数（下）】⌈ 加性函数 ⌋ 与 ⌈ 积性函数 ⌋ 与 ⌈ 狄利克雷卷积 ⌋ 详细介绍
[算法讲7:积性函数(下)] 前置补充 ⌈\lceil⌈积性函数⌋\rfloor⌋ (乘性函数) 四个最基本的定义关于积性函数的基本性质性质一:f(1) 性质二:积性函数的各种传递性质三:整数 ...
专题·莫比乌斯函数与欧拉函数【including 整除分块，积性函数，狄利克雷卷积，欧拉函数，莫比乌斯函数，莫比乌斯反演
初见安~又是好久没写博客了--加上CSP才炸了一波. 目录一.整除分块题解二.积性函数三.狄利克雷卷积四.欧拉函数五.莫比乌斯函数(mu) 六.莫比乌斯反演一.整除分块看个例题:洛谷P ...
HDU 6134 2017 多校训练：Battlestation Operational（莫比乌斯反演+积性函数）
实在太长了直接放题目链接 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6134 这题就是求考虑当Gcd(i, j)==1时,除了j为1的情况,其它时候i/j一 ...
从积性函数到莫比乌斯反演
积性函数积性函数:对于数论函数 fff ,若任意互质的 p,qp,\ qp, q 都有 f(pq)=f(p)f(q)f(pq)=f(p)f(q)f(pq)=f(p)f(q) ,则称 fff 是积性函 ...
积性函数、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演
狄利克雷卷积定义: f∗g(n)=∑d∣nf(d)g(nd)f*g(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd)f∗g(n)=d∣n∑f(d)g(dn) 计算的时候可以把枚举约数转换 ...
【算法专题】积性函数
[参考] ★浅谈一类积性函数的前缀和 by skywalkert 任之洲数论函数.pdf 论逗逼的自我修养之寒假颓废记 by jiry_2 杜教筛 [学习笔记][更新中] by Candy? [变化技 ...
数学--数论--积性函数（初步）
一.定义积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数. 二.常见的积性函数 φ(n) -欧拉函数 μ(n) -莫比乌斯函数,关于非平方数的质因子数目 gcd(n,k ...
积性函数欧拉函数莫比乌斯函数
积性函数 (积性函数). 如果算术函数fff对任意两个互素的正整数a和b,f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b),则fff被称为积性函数(或乘性函数):如 ...

【数学专题】莫比乌斯反演与积性函数

目录