欧拉心算（反演 + 积性函数筛）

欧拉心算

推式子

∑i=1n∑j=1nϕ(gcd(i,j))=∑d=1nϕ(d)∑i=1nd∑j=1nd[gcd(i,j)==1]=∑d=1nϕ(d)∑k=1ndμ(k)(⌊nkd⌋)2另t=kd=∑t=1n(⌊nt⌋)2∑d∣tϕ(d)μ(td)另f(n)=∑d∣nϕ(d)μ(nd)我们考虑如何得到这个函数的前缀和，显然这是一个积性函数有如下性质f(1)=1f(p)=ϕ(1)μ(p)+ϕ(p)μ(1)=−1+p−1=p−2否则我们设n=pkt,p,t互质f(n)=f(pk)f(t)=(∑d∣pkμ(d)ϕ(pkd))f(t)=(∑i=0kμ(pk)ϕ(pk−i))f(t)=(μ(1)ϕ(pk)+μ(p)ϕ(pk−1))f(t)=(pk−2(p2−2p+1))f(t)由此我们得到了一个线性筛法,接下来数论分块即可。\sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j = 1} ^{n} \phi(gcd(i, j))\\ = \sum_{d = 1} ^{n} \phi(d) \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{j = 1} ^{\frac{n}{d}} [gcd(i, j) == 1]\\ = \sum_{d = 1} ^{n} \phi(d) \sum_{k = 1} ^{\frac{n}{d}} \mu(k) (\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor) ^2\\ 另t = kd\\ = \sum_{t = 1} ^{n} (\lfloor \frac{n}{t} \rfloor) ^ 2 \sum_{d \mid t} \phi(d) \mu(\frac{t}{d})\\ 另f(n) = \sum_{d \mid n} \phi(d) \mu(\frac{n}{d})\\ 我们考虑如何得到这个函数的前缀和，显然这是一个积性函数有如下性质\\ f(1) = 1\\ f(p) = \phi(1) \mu(p) + \phi(p) \mu(1) = -1 + p - 1 = p - 2\\ 否则我们设n = p ^ k t,p, t互质\\ f(n) = f(p ^ k) f(t) = (\sum_{d \mid p ^ k} \mu(d) \phi(\frac{p ^ k}{d}))f(t)\\ = (\sum_{i = 0} ^{k} \mu(p ^ k) \phi(p ^{k - i}))f(t)\\ = (\mu(1) \phi(p ^ k) + \mu(p) \phi(p ^{k - 1}))f(t)\\ = (p ^{k - 2} (p ^ 2 - 2p + 1))f(t)\\ 由此我们得到了一个线性筛法,接下来数论分块即可。 i=1∑nj=1∑nϕ(gcd(i,j))=d=1∑nϕ(d)i=1∑dnj=1∑dn[gcd(i,j)==1]=d=1∑nϕ(d)k=1∑dnμ(k)(⌊kdn⌋)2另t=kd=t=1∑n(⌊tn⌋)2d∣t∑ϕ(d)μ(dt)另f(n)=d∣n∑ϕ(d)μ(dn)我们考虑如何得到这个函数的前缀和，显然这是一个积性函数有如下性质f(1)=1f(p)=ϕ(1)μ(p)+ϕ(p)μ(1)=−1+p−1=p−2否则我们设n=pkt,p,t互质f(n)=f(pk)f(t)=(d∣pk∑μ(d)ϕ(dpk))f(t)=(i=0∑kμ(pk)ϕ(pk−i))f(t)=(μ(1)ϕ(pk)+μ(p)ϕ(pk−1))f(t)=(pk−2(p2−2p+1))f(t)由此我们得到了一个线性筛法,接下来数论分块即可。

代码

bzoj挂了，所以没地方测试，所以只能在网上找了题解对拍了几组样例。

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int inf = 0x3f3f3f3f;const int N = 1e7 + 10;bool st[N];ll f[N], prime[N], cnt;ll quick_pow(ll a, int n) {ll ans = 1;while(n) {if(n & 1) ans = ans * a;a = a * a;n >>= 1;}return ans;
}void init() {st[1] = f[1] = 1;for(int i = 2; i < N; i++) {if(!st[i]) {prime[cnt++] = i;f[i] = i - 2;}for(int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0) {int num = 1, temp = i;while(temp % prime[j] == 0) {temp /= prime[j], num++;}f[i * prime[j]] = 1ll * quick_pow(prime[j], num - 2) * (1ll * prime[j] * prime[j] - 2ll * prime[j] + 1) * f[temp];break;}f[i * prime[j]] = f[i] * f[prime[j]];}}for(int i = 1; i < N; i++) {f[i] += f[i - 1];}
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);init();int T;scanf("%d", &T);while(T--) {ll n, ans = 0;scanf("%lld", &n);for(ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {r = n / (n / l);ans += (n / l) * (n / l) * (f[r] - f[l - 1]);}printf("%lld\n", ans);}return 0;
}

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