奈奎斯特定律和香农定理

题目：

计算机网络试题
若信道在无噪声情况下的极限数据传输速率不小于信噪比为30 dB条件下的极限数据传输速率，则信号状态数至少是
A、4    B、8    C、16    D、32

D 2Blog2V>=Blog2(1+S/N)(前者为呢奎斯特定理，后者为香农定理) 由于信噪比为30dB 所以10log10S/N=30dB S/N=1000 即V²>=1001 V>=31.6

(一) 波特率和比特率

1、波特率指的是信号每秒钟电平变化的次数，单位是Hz：比如一个信号在一秒钟内电平发生了365次变化，那么这个信号的波特率就是365Hz；

2、比特率是信号每秒钟传输的数据的位数，我们知道在计算机中，数据都是用0，1表示的，所以比特率也就是每秒钟传输0和1的个数，单位是bps（bit per second）。

3、那么这两者啥关系呢？我们可以假设一个信号只有两个电平，那么这个时候可以把低电平理解为“0”，高电平理解为“1”，这样每秒钟电平变化的次数也就是传输的0，1个数了，即比特率 = 波特率。但是有些信号可能不止两个电平，比如一个四电平的信号，那么每个电平就可以被理解成“00”，“01”，“10”，“11”，这样每次电平变化就能传输两位的数据了，即比特率 = 2 ×波特率。一般的，bit

rate = buad rate × log2L，这里L就是信号电平的个数。

（二）奈奎斯特（理想状况下，无噪声）

奈奎斯特公式：表示一个有线宽带的无噪声信道的最大数据传输率

Cmax=2B*log2V（bps）

B：带宽{ 模拟带宽hz 数字带宽bps} 信号在最高和最低信号频率中通过，最高信号频率和最低信号频率的差值就叫做带宽。

【关于带宽的题目】

现要在光纤上传输一系列计算机屏幕的图像，屏幕是1920×1200 像素，每个像素有 24 位，每秒钟产生 50屏图像，试求需要多少带宽？

答：所需要的带宽=1920×1200×24×50=2.765Gbps

V：离散等级（个人理解是比特率）

例题1：

例题2：

一个8kHz 的无噪声信道每毫秒采样1 次，最大数据率是多少？

答：根据奈奎斯特公式，带宽固定，采样频率固定，最大数据率取决于电平级数 L。每秒采样 1000 次，若每次采样产生 16 位数据，则最大数据率为 16kbps; 若每次采样产生 1024位，则最大数据率约为 1.024Mbps。

（未理解）

例题3：

奈奎斯特定理只适合铜线，还是同样适用于高质量单模光纤？

答：奈奎斯特定理是一个数学性质，和具体技术无关。其含义是：如果一个函数的傅里叶频谱不包含频率在 f 之上的正弦和余弦分量，以频率 2f 对该函数采样，就可以获得全部信息。因此，奈奎斯特定理适用于任何传输媒体。

（三）香农定理

容量：信道中最高的比特率

信道的极限传输速率（信道的最大容量）Cmax

Cmax=Blog2(1+S/N)

S/N:信噪比信号功率S 噪声功率N

例题1：

在信噪比为 20dB 的3kHz 信道上发送二进制信号，最大数据率是多少？

答：看到db立刻想到换算：10log10（S/N）=20db 故S/N=100

按照香农公式，S/N=100，可计算出最大数据率是19.975kbps。而按照奈奎斯特公式，计算出最大数据率为6kbps。因此，最大数据率为 6kbps。

例题2：

二进制信号在信号在信噪比为127：1的4kHz的信道上传输，最大的数据率可以达到：

A. 28000b/s

B. 8000b/s

C. 4000b/s

D. 可以无限大

分析：看到信噪比，马上上手就可以计算得到：

速率 = 4klog2(1+127)=4k⋅7=28kbps=28000b/s4klog2(1+127)=4k⋅7=28kbps=28000b/s

先别急着选，要想二进制信号就是说直接用的是一位编码表示2个状态，就是V = 2时，可以计算奈奎斯特。

速率 = 2⋅4k⋅log22=8000b/s2⋅4k⋅log22=8000b/s

这样就很有意思了。奈奎斯特得到的比香农小，二者取较小的。

例题3：

若连接R2和R3链路的频率带宽为8Hz,信噪比为30dB,该链路的实际传输速率约为理论最大值的50%，则该链路的实际传输速率约为：C

A. 8kbps

B. 20kbps

C. 40kbps

D. 80kbps

分析：看到dB，马上想到要换算。

10log10(S/N)=30

→S/N=1000→S/N=1000

由此得到信道的极限速率 = 8k⋅log21000=80kbps

因为实际是这个一半，因此得到的是40kbps.

如果直接代入的是30，得到极限速率是40kbps,再取一半，结果是20kbps，感觉很像，实际上是错误的。

【例题4】

要使用多大的信噪比才能在 100kHz 的线路上传输 T1 信号？

答：根据香农公式，有Hlog2(1+S/N)=1.544×106 ，其中H=100,000 可算出 S/N=215-1，即大约46dB

理解：已知T1信号的数据传输率为1.544*10的6次方，记住。

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