CF1293E Xenon‘s Attack on the Gangs

传送门

题目大意

给定一棵树， n − 1 n-1 n−1条边。问如何在边上填数（范围从0到n-1,且每个数仅出现一次）使得 S S S 最小
S = ∑ 1 ≤ u , v ≤ n m e x ( u , , v ) S = \sum_{1\leq u,v \leq n}mex(u,,v) S=1≤u,v≤n∑mex(u,,v)
其中 m e x ( u , v ) mex(u, v) mex(u,v)表示从u到v的路径上最小没出现的自然数。
数据范围： 2 ≤ n ≤ 3000 2 \leq n \leq 3000 2≤n≤3000

解题思路

假设我们已经知道填0的边所在的位置（边 < u , v > <u,v> <u,v>），那么填1的边与u或者v相连一定最优。如果找到一条边<u, w>填1，那么填2的边一定与w或者v相连最优，以此类推，可以发现我们似乎就在维护一个链，而这条链一但确定，其它边不管怎么填都不会影响答案。
再考虑如果我们在上面的链上加入一条边时答案该如何变化。如果加入一条边后，答案会增加u,v子树中所有点对的数量，也就是子树大小的乘积。
这就把问题转化成了一个类似区间dp的问题。如果我们想求链从u到v时的答案 f [ u ] [ v ] f[u][v] f[u][v]，那么 f [ u ] [ v ] = m a x ( f [ f a [ v ] [ u ] ] [ v ] , f [ u ] [ f a [ u ] [ v ] ] ) + s u m [ u ] [ v ] ∗ s u m [ v ] [ u ] f[u][v] = max(f[fa[v][u]][v], f[u][fa[u][v]]) +sum[u][v]*sum[v][u] f[u][v]=max(f[fa[v][u]][v],f[u][fa[u][v]])+sum[u][v]∗sum[v][u]
其中 f a [ u ] [ v ] fa[u][v] fa[u][v]表示在以u为根的树中，v的父节点， s u m [ u ] [ v ] sum[u][v] sum[u][v]表示在以u为根结点的子树中，v结点子树的大小。这两个通过 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的预处理就能得到。
该dp方程类似于区间dp的方程， f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − 1 ] ) + w [ i ] [ j ] f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])+w[i][j] f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])+w[i][j]
此题可以看作区间dp在树上的一种变形。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;const int MAXN = 6005;
int head[MAXN], nxt[MAXN], to[MAXN], sze, n;
inline void AddEdge(int u, int v) {nxt[++sze] = head[u]; to[head[u] = sze] = v;
}
int sum[MAXN][MAXN], fa[MAXN][MAXN];
LL f[MAXN / 2][MAXN / 2]; // 不除2会炸内存
void dfs(int root, int u, int faa) {fa[root][u] = faa;sum[root][u] = 1;for (int e = head[u]; e; e = nxt[e]) {if (to[e] == faa) continue;dfs(root, to[e], u);sum[root][u] += sum[root][to[e]];}
}
LL dp(int u, int v) {if (u == v) return f[u][v] = 0;if (u > v) swap(u, v);if (f[u][v] != -1) return f[u][v];f[u][v] = max(dp(u, fa[u][v]), dp(v, fa[v][u])) + (LL)sum[u][v] * sum[v][u];return f[u][v];
}
int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i < n; i++) {int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);AddEdge(u, v); AddEdge(v, u);} for (int i = 1; i <= n; i++) dfs(i, i, i);memset(f, -1, sizeof(f));LL ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) ans = max(ans, dp(i, j));printf("%lld", ans);return 0;
}