判定一棵二叉树是否是二叉搜索树

问题

给定一棵二叉树，判定该二叉树是否是二叉搜索树（Binary Search Tree）？

解法1:暴力搜索

首先说明一下二叉树和二叉搜索树的区别。二叉树指这样的树结构，它的每个结点的孩子数目最多为2个；二叉搜索树是一种二叉树，但是它有附加的一些约束条件，这些约束条件必须对每个结点都成立：

结点node的左子树所有结点的值都小于node的值。
结点node的右子树所有结点的值都大于node的值。
结点node的左右子树同样都必须是二叉搜索树。

该问题在面试中也许经常问到，考察的是对二叉搜索树定义的理解。初看这个问题，也许会想这样来实现：

假定当前结点值为k。对于二叉树中每个结点，判断其左孩子的值是否小于k，其右孩子的值是否大于k。如果所有结点都满足该条件，则该二叉树是一棵二叉搜索树。

很不幸的是，这个算法是错误的。考虑下面的二叉树，它符合上面算法的条件，但是它不是一棵二叉搜索树。

    10/  \5   15     -------- binary tree (1)/  \6    20

那么，根据二叉搜索树的定义，可以想到一种暴力搜索的方法来判定二叉树是否为二叉搜索树。

 假定当前结点值为k。则对于二叉树中每个结点，其左子树所有结点的值必须都小于k，其右子树所有结点的值都必须大于k。

暴力搜索算法代码如下，虽然效率不高，但是它确实能够完成工作。该解法最坏情况复杂度为O（n^2)，n为结点数目。（当所有结点都在一边的时候出现最坏情况）

/*判断左子树的结点值是否都小于val*/
bool isSubTreeLessThan(BinaryTree *p, int val)
{if (!p) return true;return (p->data < val &&isSubTreeLessThan(p->left, val) &&isSubTreeLessThan(p->right, val));
}/*判断右子树的结点值是否都大于val*/
bool isSubTreeGreaterThan(BinaryTree *p, int val)
{if (!p) return true;return (p->data > val &&isSubTreeGreaterThan(p->left, val) &&isSubTreeGreaterThan(p->right, val));
}/*判定二叉树是否是二叉搜索树*/
bool isBSTBruteForce(BinaryTree *p)
{if (!p) return true;return isSubTreeLessThan(p->left, p->data) &&isSubTreeGreaterThan(p->right, p->data) &&isBSTBruteForce(p->left) &&isBSTBruteForce(p->right);
}

一个类似的解法是：对于结点node，判断其左子树最大值是否大于node的值，如果是，则该二叉树不是二叉搜索树。如果不是，则接着判断右子树最小值是否小于或等于node的值，如果是，则不是二叉搜索树。如果不是则接着递归判断左右子树是否是二叉搜索树。（代码中的maxValue和minValue函数功能分别是返回二叉树中的最大值和最小值，这里假定二叉树为二叉搜索树，实际返回的不一定是最大值和最小值）

int isBST(struct node* node)
{ if (node==NULL) return(true);//如果左子树最大值>=当前node的值，则返回falseif (node->left!=NULL && maxValue(node->left) >= node->data) return(false);// 如果右子树最小值<=当前node的值，返回falseif (node->right!=NULL && minValue(node->right) <= node->data) return(false);// 如果左子树或者右子树不是BST，返回falseif (!isBST(node->left) || !isBST(node->right)) return(false);// 通过所有测试，返回truereturn(true);
}

解法2：更好的解法

以前面提到的binary tree（1）为例，当我们从结点10遍历到右结点15时，我们知道右子树结点值肯定都在 10和+INFINITY（无穷大）之间。当我们遍历到结点15的左孩子结点6时，我们知道结点15的左子树结点值都必须在10到15之间。显然，结点6不符合条件，因此它不是一棵二叉搜索树。该算法代码如下：

int isBST2(struct node* node)
{return(isBSTUtil(node, INT_MIN, INT_MAX));
}
/*
给定的二叉树是BST则返回true，且它的值  >min 以及 < max.
*/
int isBSTUtil(struct node* node, int min, int max)
{if (node==NULL) return(true);// 如果不满足min和max约束，返回falseif (node->data<=min || node->data>=max) return(false);// 递归判断左右子树是否满足min和max约束条件returnisBSTUtil(node->left, min, node->data) &&isBSTUtil(node->right, node->data, max));
}

由于该算法只需要访问每个结点1次，因此时间复杂度为O（n），比解法1效率高很多。

解法3：中序遍历算法

因为一棵二叉搜索树的中序遍历后其结点值是从小到大排好序的，所以依此给出下面的解法。该解法时间复杂度也是O（n）。

bool isBSTInOrder(BinaryTree *root)
{int prev = INT_MIN;return isBSTInOrderHelper(root, prev);
}
/*该函数判断二叉树p是否是一棵二叉搜索树，且其结点值都大于prev*/
bool isBSTInOrderHelper(BinaryTree *p, int& prev)
{if (!p) return true;if (isBSTInOrderHelper(p->left, prev)) { // 如果左子树是二叉搜索树，且结点值都大于previf (p->data > prev) { //判断当前结点值是否大于prev，因为此时prev已经设置为已经中序遍历过的结点的最大值。prev = p->data;return isBSTInOrderHelper(p->right, prev); //若结点值大于prev，则设置prev为当前结点值，并判断右子树是否二叉搜索树且结点值都大于prev。} else {return false;}}else {return false;}
}