分治算法详解（带图）

实际场景中，我们之所以觉得有些问题很难解决，主要原因是该问题涉及到大量的数据，如果只需要处理少量的数据，问题会变得非常容易解决。

举一个简单的例子，设计一个排序算法实现对 1000 个整数进行排序。对于很多刚刚接触算法的初学者来说，直接实现对 1000 个整数进行排序是非常困难的。而同样的问题，如果转换成对 2 个整数进行排序，解决起来就很容易。

分治算法中，“分治”即“分而治之”的意思。分治算法解决问题的思路是：先将整个问题拆分成多个相互独立且数据量更少的小问题，通过逐一解决这些简单的小问题，最终找到解决整个问题的方案。
所谓问题间相互独立，简单理解就是每个问题都可以单独处理，不存在“谁先处理，谁后处理”的次序问题。

如图 1 所示，分治算法解决问题的过程需要经历 3 个阶段，分别是：
分：将整个问题划分成多个相对独立、涉及数据量更少的小问题，有些小问题还可以划分成很多更小的问题，直至每个问题都不可再分；
治：逐个解决所有的小问题；

合并：将所有小问题的解决方案合并到一起，找到解决整个问题的方案。

分治算法的利弊

使用分治算法解决的问题都具备这样的特征，当需要处理的数据量很少时，问题很容易就能解决，随着数据量增多，问题的解决难度也随之增大。分治算法通过将问题“分而治之”，每个小问题只需要处理少量的数据，每个小问题都很容易解决，最终就可以解决整个问题。

分治算法中，“分而治之”的小问题之间是相互独立的，处理次序不分先后，因此可以采用“并行”的方式让计算机同时处理多个小问题，提高问题的解决效率。

分治算法的弊端也很明显，该算法经常和递归算法搭配使用，整个解决问题的过程会耗费较多的时间和内存空间，严重时还可能导致程序运行崩溃。

分治算法的应用场景

分治算法解决的经典问题有很多，包括汉诺塔问题、寻找数列中最大值和最小值的问题等等。

分治算法还和其它算法搭配使用，比如二分查找算法、归并排序算法、快速排序算法等，后续章节会给大家一一进行讲解。

来到例题。

问题 Q: 【一本通基础分治】河中跳房子

[题目描述]

每年奶牛们都要举办各种特殊版本的跳房子比赛，包括在河里从一个岩石跳到另一个岩石。这项激动人心的活动在一条长长的笔直河道中进行，在起点和离起点L远 (1 ≤ L≤ 1,000,000,000) 的终点处均有一个岩石。在起点和终点之间，有N (0 ≤ N ≤ 50,000) 个岩石，每个岩石与起点的距离分别为Di (0 < Di < L)。

在比赛过程中，奶牛轮流从起点出发，尝试到达终点，每一步只能从一个岩石跳到另一个岩石。当然，实力不济的奶牛是没有办法完成目标的。

农夫约翰为他的奶牛们感到自豪并且年年都观看了这项比赛。但随着时间的推移，看着其他农夫的胆小奶牛们在相距很近的岩石之间缓慢前行，他感到非常厌烦。他计划移走一些岩石，使得从起点到终点的过程中，最短的跳跃距离最长。他可以移走除起点和终点外的至多M (0 ≤ M ≤ N) 个岩石。

请帮助约翰确定移走这些岩石后，最长可能的最短跳跃距离是多少？

输入

第一行包含三个整数L, N, M，相邻两个整数之间用单个空格隔开。

接下来N行，每行一个整数，表示每个岩石与起点的距离。岩石按与起点距离从近到远给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出

一个整数，最长可能的最短跳跃距离。

样例输入

样例输出

好不多说，直接上代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w, m, n, a[50005], l = 1, r, mid, s;
int main()
{cin >> w >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &a[i]);n++;a[n] = w; r = w;while(l <= r){mid = (l + r) / 2;s = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){int q = a[i - 1];while(a[i] - q < mid){s++;i++;}}if(s > m) r = mid - 1;else l = mid + 1;}cout << r << endl;return 0;
}