五大常用算法——分治算法详解及经典例题
一、基本概念
在计算机科学中,分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小,越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时,不需任何计算。n=2时,只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可,…。而当n较大时,问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。
二、基本思想及策略
分治法的设计思想是:将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;、
第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。
分治法在每一层递归上都有三个步骤:
step1 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;
step2 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
step3 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下:
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
7. return(T)
其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
六、分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有:
T(n)= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解:
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值,但是如果认为T(n)足够平滑,那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的,从而当mi≤n<mi+1时,T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
回文
这里的回文是指资格字符串,它从头到尾读与从尾到头读的内容是一致的,比如说doggod,无论从左到右耗时从右到左都是一样的。
def isPal(s):if len(s) <= 1:return Trueelse:return s[0]==s[-1] and isPal(s[1:-1])s = 'doggod'
result = isPal(s)
print result
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可以看出算法就是利用递归不断的处理更小的子问题。
二分查找
二分查找也是典型的分治算法的有应用。二分查找需要一个默认的前提,那就是查找的数列是有序的。
二分查找的思路比较简单:
1) 选择一个标志i将集合分为二个子集合
2) 判断标志L(i)是否能与要查找的值des相等,相等则直接返回
3) 否则判断L(i)与des的大小
4) 基于判断的结果决定下步是向左查找还是向右查找
5) 递归记性上面的步骤
def binarySearch(L,e,low,high):if high == low:return L[low] == e mid = (low+high)//2if L[mid]==e:return Trueelif L[mid]>e:if low == mid:return Falseelse:return binarySearch(L,e,low, mid-1)else:return binarySearch(L,e,mid+1,high)def search(L,e):result = binarySearch(L,e,0,len(L)-1)print result L = range(10);
e = 7search(L,e)
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九、总结
分治算法的一个核心在于子问题的规模大小是否接近,如果接近则算法效率较高。
分治算法和动态规划都是解决子问题,然后对解进行合并;但是分治算法是寻找远小于原问题的子问题(因为对于计算机来说计算小数据的问题还是很快的),同时分治算法的效率并不一定好,而动态规划的效率取决于子问题的个数的多少,子问题的个数远小于子问题的总数的情况下(也就是重复子问题多),算法才会很高效。
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