向量点乘与向量叉乘的几何意义

2024-04-23 03:59:46

向量点乘（内积）

向量点乘公式为：

a * b = |a| * |b| * cosθ

点乘的结果是是标量，点乘也被称为内积，是a向量在b向量上投影的长度与b向量的长度的乘积，反映了两个向量之间的相似度，两向量越相似，它们的点积就越大。

内积（点乘）的几何意义：

表征或计算两个向量之间的夹角
b向量在a向量方向上的投影

判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a∙b=0→ 正交，相互垂直
a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

向量叉乘（外积）

向量叉乘公式为：

a ^ b = |a| * |b| * sinθ

叉乘的结果是一个新的向量，所以也称为向量积，它垂直于相乘的a、b两向量所构成的平面。

外积（叉乘）的几何意义：

在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的说法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

可以通过右手定则确定叉乘的方向

在游戏开发中，可以使用叉乘，确定敌方目标在玩家左右方向。

假设玩家的正方向是a向量，b是玩家指向敌方目标的向量，叉乘方向向上代表目标在玩家左边。反之，叉乘方向向下代表目标在玩家右边。

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