0.前言

在游戏开发中，确定目标的方位，朝向，夹角等相关数据需要用到向量间的计算，其中最常用到的就是点乘和叉乘。

说实话，因为向量的运算在平时开发中不是经常使用，我也总弄混这两种运算的含义，所以这次好好区分一下，也给有同样困扰的朋友一点小小的帮助。

因为我们主要研究的是游戏开发中的3D世界向量，所以下面的介绍会以几何定义为主，不研究其代数定义。

1.点乘

定义

又称点积、数量积、标量积。

从几何角度看，点乘是两个向量的长度和它们的夹角余弦值的积。

从名称和定义上来看，点乘的结果是标量。

点乘的名称也源自于点乘的运算符号。

通过上面的公式，我们还可以得到如下公式。

也就是说如果给定了两个向量，那么我们就可以求出两个向量的夹角。

关于这里的计算需要插播一个点，当两个单位向量的长度都是1的时候，向量的点乘就是他们夹角的余弦值。在游戏开发中会有归一化的操作，然后直接求夹角的情况，如果对这个知识点没有了解，可能看不懂夹角计算的原理。

我们通过点积公式可以看出来a，b都是标量，都是正数，余弦值会根据角度有正负变化。

当(0-90)°的时候，余弦值是正数，整个点乘公式都是正的。

当90°的时候，余弦值为0，整个公式为0。

当(90-180)°的时候，余弦值是负数，整个公式为负的。

利用这个性质，我们可以根据点乘的正负，做一些判断了。

在Unity中的应用

下面会直接用代码解释如何使用Unity提供的数学库进行点乘相关运算

using UnityEngine;

public class Example : MonoBehaviour

{

// 红色方块为敌人// 蓝色方块为自身public Transform cubeRed;

public Transform cubeBlue;

private void Update()

{

if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Space))

{

CalculateDot();

}

}

private void CalculateDot()

{

// 先计算出敌人想对自身的位置信息// 再使用自身正方向与相对方向两个向量做点乘的相关运算Vector3 relativePosition = cubeRed.position - cubeBlue.position;

Vector3 cubeForward = cubeBlue.forward;

// 计算两个向量的点乘// 如果大于0说明敌人在自身前面// 如果小于0说明敌人在自身后面// 如果等于0说明敌人在自身左右float result = Vector3.Dot(cubeForward, relativePosition);

Debug.Log("点积的结果：" + result);

// 得到两个向量后，可以直接计算其夹角float angle = Vector3.Angle(cubeForward, relativePosition);

Debug.Log("两个向量的夹角：" + angle);

// 这是前面说到的当两个向量的长度都为1时，点乘的结果就是夹角的余弦值float cos = Vector3.Dot(cubeForward.normalized, relativePosition.normalized);

Debug.Log("余弦值：" + cos);

// 通过反余弦函数得到两个向量的角度// 不过这里得到是弧度值，并不是角度值float radians = Mathf.Acos(cos);

Debug.Log("通过余弦值求弧度：" + radians);

// 弧度值通过数据库转换成角度值angle = radians * Mathf.Rad2Deg;

Debug.Log("把弧度转换成角度：" + angle);

}

}

得到的结果如图所示，当敌人在自身后方时，点乘的结果小于0，当敌人在自身前方时，点乘的结果大于0。

2.叉乘

定义

又称叉积、向量积

首先叉乘的结果是向量不是标量。

叉乘的名称也来源于符号

叉乘的公式定义稍微复杂一点。

叉乘最后的结果是一个向量，大小可以根据公式算出，但是方向要根据右手法则确定。

实际上Unity中用的是左手坐标系，所以确定方向的时候我们要用左手法则，最后得到的方向正好与右手法则相反。所以两个向量的叉乘并不是一个真向量，它受参照系的影响，这个在以后的计算中要注意我们使用的到底是哪种坐标系。Unity官方API文档

几何意义

如果以向量a和b为边构成一个平行四边形，那么这两个向量的叉乘的模长与这个平行四边形的面积相等。

其实这个概念很好理解。我们不考虑叉乘方向的问题，叉乘的模长就是a*b*sinθ，其实也就是平行四边形面积公式中的底乘高。

在Unity中的应用

private void CalculateCross()

{

Vector3 relativePosition = cubeRed.position - cubeBlue.position;

Vector3 cubeForward = cubeBlue.forward;

Vector3 result = Vector3.Cross(cubeForward, relativePosition);

Debug.Log(result.y);

}

根据左手定则，y轴是法向量的方向，当y大于零的时候，敌人在我方右边，当y小于零的时候，敌人在我方左边。

在实际开发中，我们可以用叉乘来判断最优转向角，根据敌人的方位，判断我们应该向什么方向是最快的。

3.总结

简单来说，在两个物体的位置关系判断中。

点乘可以判断出目标物体在我的前方还是后方。大于零在前方，小于零在后方。

叉乘可以判断出目标物体在我的左边还是右边。大于零在右方，小于零在左方。

在计算机图形学中。

点乘可以用来计算夹角余弦值。

叉乘可以用来计算平面法向量。