Unity游戏开发中的向量运算-点乘和叉乘
Unity游戏开发中的向量运算-点乘和叉乘
1.点乘：
定义：
又称点积、数量积、标量积。既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。
公式一：
公式二：
点积满足交换律，即 a•b = b•a
通过点积公式可以看出，a，b都是标量，都是正数，余弦值结果只受角度变化的影响。所以，游戏开发中经常对向量a、b进行归一化，即当两个单位向量的长度都是1时，点乘的结果就是他们夹角的余弦值，最后可以反余弦求得向量的夹角 θ = arccos(a•b)，注意这里得到的是弧度值，需要再乘以Mathf.Rad2Deg才能得到最终的角度。这个结果也可以通过Vector3.Angle(a,b)直接得出。
由余弦函数曲线可以看出：当夹角小于90，余弦值大于0；当夹角大于90，余弦值小于0。
游戏中的应用：
1.判断敌人在我们前方或者后方？
我们以自己为原点，问题就可以转化为，计算我们的正前方(Vector3.forward)和原点指向敌人位置的向量的点积。当结果大于0时，说明敌人与我们正前方夹角小于90度，敌人在我们前面，当结果小于0时，说明敌人与我们正前方夹角大于90度，敌人在我们后面。
2.已知敌我位置，自己的视角θ范围，判断敌人是否在视角内？
同样以自己为原点，首先可以求得正前方向量和指向敌人位置的向量之间的夹角α，因为左右视角是平分的，我们只需要比较α和θ/2的大小就可以判断出结果了。由根据余弦值在(0,π)是单调递减的，所以可以通过直接比较cos值的大小来比较θ值的大小，不需要通过反余弦来计算真实角度值。即当cos(α) > cos(θ/2)时，敌人在我们视角内；当cos(α) < cos(θ/2)时，敌人在我们视角外。
2.叉乘：
定义：
向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。同样既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。
公式一：
公式二：
该结果为向量积的模长，其中0° < θ < 180°，方向在unity中由左手法则得出。
叉乘不满足交换律，满足反交换律，即 axb = -(bxa)
根据左手定则可以看出，叉乘结果大于0时，第二个向量在第一个向量右边，叉乘结果小于0时，第二个向量在第一个向量左边。
根据叉乘的定义，这两个只在XY平面的向量的叉乘，必然为一个只在Z轴（垂直于XY平面）上有值的向量，所以可以把2D向量的叉乘简化为一个只表示Z值的标量。
所以2D向量的叉乘可以定义为：
这个公式的几何意义就是如果以向量a和b为边构成一个平行四边形，那么a和b的叉乘的结果就是这个平行四边形的面积。
游戏中的应用：
判断最优转向敌人问题
以自己为原点，计算自己正前方和指向敌人的向量的叉乘，如果结果大于0，说明敌人在我们右手边，小于0则在我们左手边。
3.总结：
简单来说，在两个物体的位置关系判断中。
点乘可以判断出目标物体在我的前方还是后方。大于零在前方，小于零在后方。
叉乘可以判断出目标物体在我的左边还是右边。大于零在右方，小于零在左方。
参考文章：
向量运算在游戏开发中的应用和思考
Unity游戏开发——向量运算（点乘和叉乘）
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