0.前言

0.1 摘要

本文主要讲解了拉格朗日插值法和牛顿插值之间的对比。对于具体插值原理不做深入探讨，如有需要看参考文后的参考文献。

0.2 插值、拟合、逼近的几点说明[4]

插值：已知若干离散的点，根据这若干离散的点，推断出经过这些离散点的函数或求出这些之间的函数值
拟合：根据若干离散的数据，希望得到一个连续的函数，或是更加密集的离散方程与已知点相吻合，这个过程叫做拟合。
最小二乘意义下的拟合，是要求拟合函数与原始数据均方误差达到最小，不需要经过这些点，或是说不需要完全经过这些点。

1.正文

1.1 拉个朗日插值法

1.1.1 程序

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import time#print(plt.__file__ )def lagrange(X, Y, xx):"""拉格朗日插值法"""result = 0.0for i in range(len(Y)):f_temp = Y[i]for j in range(len(Y)):if i != j:f_temp *= (xx - X[j]) / (X[i] - X[j])result += f_tempreturn resultdef plot_image(X, Y, xq, yq,num):# 绘图plt.title("Lagrange_interpolation")  # 打印标题plt.plot(X, Y, 's', label="original values")  # 蓝色点表示原来的值plt.plot(xq, yq, 'r', label="interpolation values")  # 插值曲线words = "被插点数：{}".format(num)plt.text(3.5,-10,words,fontproperties='SimHei')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend(loc=4)  # 指定lgend的位置plt.savefig('lagrange.png')plt.show()def main():# 开始计时start_time = time.clock()# 已30X = [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]Y = [-20, -12, 1, 15, 4, 21, 41]# 计算的插值点num = 50 # 被插点数xq = np.linspace(np.min(X), np.max(X), num, endpoint=True)yq = []for xx in xq:yq.append(lagrange(X, Y, xx))# 绘图plot_image(X, Y, xq, yq,num)# 结束计时end_time = time.clock()consumer_time = end_time - start_timeprint("程序运行消耗时间: " + str(consumer_time))if __name__ == '__main__':main()

1.1.2 运行结果

---------------------------------------------------图1 拟合效果图

-------------------------------------------------图2 程序运行时间

1.2 牛顿插值法

1.2.1 程序

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
import numpy as np
import pandas as pd
import math
import time# %matplotlib inlinedef get_diff_table(X, Y):""" 得到差商表"""n = len(X)A = np.zeros([n, n])for i in range(0, n):A[i][0] = Y[i]  # 零阶均差for j in range(1, n):for i in range(j, n):A[i][j] = (A[i][j - 1] - A[i - 1][j - 1]) / (X[i] - X[i - j])return Adef newton_interpolation(X, Y, xx):""" 计算x点的插值1. f(x) = f(x0) + f[x0,x1](x-x0)+…… 牛顿插值函数2. f[x0,x1] = (f(x0)-f(x1))/(x0-x1)  chashang 差商3. (x-x0)(x-x1)……   x_diff 牛顿插值中，和差商相乘的那一项"""fx = Y[0]  # f(x0)chashang = np.zeros((len(X), len(X)))  # 差商表x_diff = 1.0# 将第0列赋值for j in range(0, len(X)):chashang[j, 0] = Y[j]  # 零阶差商 第零列差商# 计算插值for j in range(1, len(X)):  # 列# 计算x的多项式 x_diffx_diff = x_diff * (xx - X[j - 1])# 从第1列到第n列计算差商for i in range(j, len(X)):  # 行chashang[i, j] = (chashang[i, j - 1] - chashang[i - 1, j - 1]) / (X[i] - X[i - j])fx = fx + x_diff * chashang[j, j]return fxdef plot_image(X, Y, xq, yq,num):# 绘图plt.title("Newton_interpolation")  # 打印标题plt.plot(X, Y, 's', label="original values")  # 蓝色点表示原来的值plt.plot(xq, yq, 'r', label="interpolation values")  # 插值曲线words = "被插点数：{}".format(num)plt.text(3.5,-10,words,fontproperties='SimHei')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend(loc=4)  # 指定lgend的位置plt.savefig('niudun.png')plt.show()def main():# 计算时间start_time = time.clock()# 已知点X = [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]Y = [-20, -12, 1, 15, 4, 21, 41]# 计算的插值点num = 50 # 被插点数xq = np.linspace(np.min(X), np.max(X), num, endpoint=True)yq = []for xx in xq:yq.append(newton_interpolation(X, Y, xx))# 绘图plot_image(X, Y, xq, yq,num)# 结束计算时间end_time = time.clock()consumer_time = end_time - start_timeprint("程序运行消耗时间: " + str(consumer_time))if __name__ == '__main__':main()

1.2.2 结果

---------------------------------------------------图1 拟合效果图

-------------------------------------------------图2 程序运行时间

1.3. 讨论

拉格朗日插值法结构紧凑，形式优美，但在实际计算中，当插值点增加或减少时，多项式需要全部重新计算，非常不经济。
对于等距基点且插值节点多的情况会出现龙格（Runge）现象
由于差商表的建立，当增加或减少新节点时，只需要计算部分，牛顿插值具有承袭性。

参考文献

[1] https://blog.csdn.net/shenwansangz/article/details/88682785
[2] https://blog.csdn.net/weixin_30636089/article/details/98912342
[3] https://blog.csdn.net/deramer1/article/details/79040743
[4] https://www.cnblogs.com/BaiPao-XD/p/10885968.html
[5] https://blog.csdn.net/sgfmby1994/article/details/52598270/
[6] https://blog.csdn.net/qq_37568658/article/details/79489592
[7] http://www.pianshen.com/article/364698023/
PS:对于遗漏的参考文献，深表歉意！

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1.1.1 程序

1.1.2 运行结果

1.2 牛顿插值法

1.2.1 程序

1.2.2 结果

1.3. 讨论

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