1月16日：拉格朗日中值定理，罗尔定理，柯西中值，拉格朗日插值，牛顿插值，重心插值，拉格朗日乘子法的证明
拉格朗日中值定理
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拉格朗日中值定理的证明一直是让同学们头疼的一个问题，往往教科书仅仅给出辅助函数，但不做过多的解释，我希望用这10分钟的时间给各位解释清楚，拉格朗日证明过程中的辅助函数，到时是什么意思
割线l(x)l(x)l(x)
整理：
费马（引理）Fermat定理
函数fff 在极值点x0∈(a,b)x_0 ∈(a,b)x0∈(a,b)可导，则f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0
罗尔中值定理
柯西中值定理
数学公式中的s.t.是subject to 的缩写，表示约束条件
罗尔定理
换成
换成
根据拉格朗日的证明过程：
所以罗尔定理
几何解释
罗尔定理！！！
拉格朗日！！！
最后是用罗尔定理+拉格朗日证明的！！！！
拉格朗日与柯西连用
拉格朗日插值法 Π e 黄金分割
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任何一个有穷数列都可以写出拉格朗日通项。
对于一组给定的点，拉格朗日插值法总能给出一条最低次数穿过这些点的函数
拉格朗日 龙格现象：
基本形式：
优点与缺点
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐[5]。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）[6]。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6833391.html
重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式
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重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式
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结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零[7]。同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性。第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小。
牛顿插值法
牛顿多项式（英语：Newton Polynomial）是数值分析中一种用于插值的多项式，以英格兰数学家暨物理学家牛顿命名。
牛顿插值法和拉格朗日插值法两者都是多项式插值法。从本质上说，两者给出的结果是一样的（相同的次数，相同的系数多项式），只不过表示的形式不同。牛顿插值法与拉格朗日插值法相比具有承袭性和易于变动的特点。
拉格朗日乘子法及KKT条件——最优化理论（条件极值问题）
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用于解决带约束的优化问题！！！
拉格朗日希望在求偏导（极值点）以后，还能保留原有的约束条件。上面提到，单独对函数求极值不能保证满足约束条件，拉格朗日就能把约束条件带进来，跟求其他变量的偏导结果放在一起，既能满足约束条件，又能保证是约束条件下的极值。
当然这是一个约束条件的情况，如果有多个约束条件呢？那就要用多个不同的λ（想想为什么），正如最上面的那个定义那样，把这些加起来（这些0加起来也是0）。
拉格朗日乘子法，求条件极值—》转化为求（函数+条件）的极值，每一步都很妙。
等式约束
非凸优化局部极小值的必要条件
不等式的约束问题
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