前面分析了 线性最小二乘 的解法

YcoFlegs：[数值计算] 数据拟合——线性最小二乘法​zhuanlan.zhihu.com

现在来看另一个问题：非线性最小二乘法

1. 定义

首先是如何定义这里这个“非线性”。为什么前面用多项式拟合就是线性了？

对于多项式拟合，每个数据样本，误差为：

，可以看到此处误差（希望绝对值缩小到0的那个函数）和

的关系是线性的，因此这个最小二乘问题被称为

线性最小二乘。虽然

与x的关系是非线性的，最终的优化函数为

也是非线性的。

那么 非线性最小二乘 就很容易理解了，误差函数r和参数b的关系是非线性的就行了。

2. 例子——发射器位置

在一片区域里

，存在10个接收器，分别位于

，和一个无线电发射器，位置

未知。这些接收器可以测量离发射器的距离，但存在误差。

此时，单个接收器数据对应的误差是

。

很容易证明非线性关系，即

。

3. 求导

和线性最小二乘一样，优化的目标函数为

。其中，前面的

系数只是为了方便后面推导的书写，

m是样本点的数量。

其中n是待优化参数的维度，

是r对b的雅可比矩阵。

b最优的条件就是

如果r与b是线性关系，那么

就是正规方程组（参考上一篇文章“线性最小二乘”），可以直接求解。证明的话只需要把

拆开。

此处因为r(b)的非线性，只能迭代求解这个优化问题。

4. 优化

4.1 牛顿法

先考虑一个简单的情况来引入牛顿法。

• 在一元函数，求一个x使得f(x)=0。假如我们先猜这个根是
  ，距离真实的根的距离是
  。使用泰勒展开
  。忽略高阶项，可以得到
  。所以
  ，如此循环。
• 对于多元函数，形式完全类似：
  。对于over-constrained system，
  ，
  ，参考

  https://zhuanlan.zhihu.com/p/83269117，可以用伪逆

  求逆。

4.2 牛顿法在非线性最小二乘中的使用

上面Section3提到，希望求根的函数F(b)为

有必要在这里停下来理一下notation。注意此处：

• r是误差函数，尺寸为
  ，m是样本点的个数
• 是误差函数对b的雅可比矩阵，尺寸为
  ，n是b的维度，是待优化参数的个数
• φ是目标函数，尺寸为
• F是φ的导数，是待求根的函数，尺寸为
• 是F对b的雅可比矩阵，尺寸为

所以为了得到

还得继续求一次导：

其中

是Eq.4的第i列的转置和r(b)列向量的点积。

下一步就是用Section4.1这个公式来迭代：

4.3 高斯牛顿法的推导 Gauss-Newton Method

Eq.6中的二阶导求解通常很麻烦，而且随着优化的进行，误差函数r(b)的值也在减小，因此决定忽略Eq.6的第二项求和：

把Eq.6 Eq.10代入到Eq.8里，得到最终的迭代公式：

观察下正规方程组的公式

可以发现，和上面的Eq.11形式上有很多相近之处。实际上高斯牛顿法实际上等价于在每个迭代步骤求解

。这种线性化非线性函数的思路在科学运算里很常见。

4.4 如何优雅地计算雅可比矩阵

• 对于简单问题，比如上面Section2的
  ，可以手推求导。
• 但对于复杂的函数，或者没有closed-form的黑盒函数，可以考虑有限差分+autograd

autograd: Efficiently computes derivatives of numpy code​github.com

4.5 高斯牛顿法小结

特点是：

• 使用牛顿法求解
• 忽略二阶项

缺点：

实际应用中收敛不稳定

4.6 高斯牛顿法的变种——Levenberg–Marquardt法

更新公式：

其中

，diag此处的意思是把除了对角线的元素直接归零，然后用heuristic选择

。

从形式上LM法比GM法只是多了一个正则项。

5. 回到求发射器位置的例子

这里用Python的scipy.optimize.root作为求解器

https://github.com/chr1shr/am205_examples/blob/master/1_data_fitting/nonlinlsq.py​github.com

sol

红色的点是b_init，红色的×是最终收敛的解，而黑色的×是真实的位置。

一圈一圈的是

的等高线图，而求解器想要找

的点。可以看到，此处的等高线图不是规则形状，也说明了这是一个非线性最小二乘的问题。

PS: 如果是线性最小二乘（

）的话，2D情况下（n=2）的轮廓图会长这个样子：

更高阶的情况下是hyperellipses。