理解插值法（拉格朗日、牛顿插值法）

引言

我们首先理解下插值法主要用来做什么事：插值法就是利用已知的点建立合适的插值函数 f ( x ) f(x) f(x) ,未知点 x i x_i xi 由插值函数 f ( x ) f(x) f(x) 可以求出函数值 f ( x i ) f(x_i) f(xi)，用求得的 ( x i , f ( x i ) ) (x_i,f(x_i)) (xi,f(xi))近似代替未知点。

对于平面上相异（无两点在一条直线上）的 n n n 个点，我们必定可以找到一个 n − 1 n-1 n−1 次多项式 y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . a n − 1 x n − 1 y=a_0+a_1x+a_2x^2+...a_{n-1}x^{n-1} y=a0+a1x+a2x2+...an−1xn−1 ，使这个多项式函数经过这些点。拉格朗日插值法和牛顿插值法所要做的就是求得这个多项式函数。只是求得多项式的方式有些不同，下面详细介绍。

拉格朗日插值法

已知 n n n 个点的坐标 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) . . . . ( x n , y n ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)....(x_n,y_n) (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)....(xn,yn)，求得一个 n − 1 n-1 n−1 次多项式过这些点。
假设 n − 1 n-1 n−1 次多项式为： y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . a n − 1 x n − 1 y=a_0+a_1x+a_2x^2+...a_{n-1}x^{n-1} y=a0+a1x+a2x2+...an−1xn−1
将n个点代入多项式得： y 1 = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 1 2 + . . . a n − 1 x 1 n − 1 y_1=a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+...a_{n-1}x_{1}^{n-1} y1=a0+a1x1+a2x12+...an−1x1n−1 y 2 = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x 2 2 + . . . a n − 1 x 2 n − 1 y_2=a_0+a_1x_2+a_2x_2^2+...a_{n-1}x_{2}^{n-1} y2=a0+a1x2+a2x22+...an−1x2n−1 . . . . . ..... ..... y n = a 0 + a 1 x n + a 2 x n 2 + . . . a n − 1 x n n − 1 y_n=a_0+a_1x_n+a_2x_n^2+...a_{n-1}x_{n}^{n-1} yn=a0+a1xn+a2xn2+...an−1xnn−1
易解出拉格朗日插值多项式为： L ( x ) = y 1 ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) . . . ( x − x n ) ( x 1 − x 2 ) ( x 1 − x 3 ) . . . ( x 1 − x n ) + y 2 ( x − x 1 ) ( x − x 3 ) . . . ( x − x n ) ( x 2 − x 1 ) ( x 2 − x 3 ) . . . ( x 2 − x n ) L(x)=y_1\frac{(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)...(x_1-x_n)}+y_2\frac{(x-x_1)(x-x_3)...(x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)...(x_2-x_n)} L(x)=y1(x1−x2)(x1−x3)...(x1−xn)(x−x2)(x−x3)...(x−xn)+y2(x2−x1)(x2−x3)...(x2−xn)(x−x1)(x−x3)...(x−xn) . . . + y n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) . . . ( x − x n − 1 ) ( x n − x 1 ) ( x n − x 2 ) . . . ( x n − x n − 1 ) ...+y_{n}\frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{n-1})}{(x_{n}-x_1)(x_{n}-x_2)...(x_{n}-x_{n-1})} ...+yn(xn−x1)(xn−x2)...(xn−xn−1)(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)
上式也可以写为：
L ( x ) = ∑ i = 1 n y i ∏ j = 1 , j = ̸ i n x − x j x i − x j L(x)=\sum_{i=1}^{n}y_i \prod_{j=1,j =\not i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j} L(x)=i=1∑nyij=1,j≠i∏nxi−xjx−xj

拉格朗日插值公式在理论分析理解上很容易理解，但是若插值节点发生改变时，插值公式随之就要重新计算生成，在实际计算中会占用大量的计算量。e.g. 现在有n个节点生成的插值公式，这里第 n+1 个节点也要加入进去，若使用拉格朗日插值法，之前的n个节点生成的插值公式则要完全调整废弃，重新生成含 n+1 个节点插值公式，这样就带来很大的计算量。正常的想法是，当一个节点要加入，我们只需在原来的插值公式上稍加修改就可以得到新的插值公式，牛顿法的出现正是克服这个问题，当插值节点发生增加，新的插值公式基于原来的公式很容易就得到。

牛顿插值法

要理解牛顿插值法首先理解一些概念：

差商：

设函数 f ( x ) f(x) f(x) ，已知其 n n n个插值节点为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) . . . . ( x n , y n ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)....(x_n,y_n) (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)....(xn,yn)，我们定义：

一阶差商
二阶差商
n n n阶差商

其中 ⋀ \bigwedge ⋀是省略的意思￣□￣｜｜。

由以上定义我们的到 差商表 如下：

基于差商的牛顿插值公式：

根据差商的定义，我们可以得到下面公式：

我们可以从后往前不断地代入消去得到：

这时候上式有两部分组成， （不含未知x的）牛顿插值逼近函数 P ( x ) P(x) P(x)、（含未知x的）误差函数 R ( x ) R(x) R(x)也称为余项 把 R ( x ) R(x) R(x) 去掉，就得到牛顿插值公式：

拉格朗日、牛顿插值法小结

motivation： 将缺失的函数值对应的点 x x x 代入多项式得到缺失值的近似值 f ( x ) f(x) f(x)。

牛顿插值法和拉格朗日插值法两者都是多项式插值法。从本质上说，两者给出的结果是一样的（相同的次数，相同的系数多项式），只不过表示的形式不同。牛顿插值法与拉格朗日插值法相比具有承袭性和易于变动的特点。