scipy.stats —— 概率、随机变量与分布

import numpy as np
import scipy.stats as st

几率（odds）

p(B)=120p(B)=\frac1{20}p(B)=201：二十场比赛只赢一场
**odds against B winning: ** o(B)=1−p(B)p(B)=19o(B)=\frac{1-p(B)}{p(B)}=19o(B)=p(B)1−p(B)=19：
A赢19场比赛，B才会赢一场

0. 常见分布

泊松分布：st.poisson(lambda)
指数分布：st.expon
二项分布：st.binom(n, p)
正态分布：st.norm
- 默认为标准正态分布，st.norm().cdf(0) ⇒ 0.5
- st.norm(32, 2.5).cdf(32) ⇒0.5，均值为 32；
beta分布：st.beta
gamma分布：st.gamma

1. scipy.stats vs. scipy.special

scipy.special：中定义的是一些特殊的函数；
- scipy.special.beta：表示的是beta函数；
- scipy.special.gamma：表示的则是 gamma 函数
scipy.stats：定义的则是概率分布；
- scipy.stats.beta：表示的是 beta 分布；
- scipy.stats.gamma：表示的是 gamma 分布；

2. 创建随机变量（rv：random variable）

泊松分布：

F_true = 1000
N = 50
F = st.poisson(F_true).rvs(N)# 泊松分布为离散型概率分布

也可以这样：

mu_true, sigma_true = 1000, 15
N = 100
F_true = st.norm(mu_true, sigma_true).rvs(N)
F = st.poisson(F_true).rvs()

二项分布

# python
>>> import scipy.stats as st
>>> n, p = 100, .5
>>> X = st.binom(n, p)# 随机变量X：投100次硬币正面出现的个数# 用二项分布表示
>>> X.mean()
50.0                        # mu = n*p = 100*.5
>>> X.std()
5.0                         # sigma = sqrt(n*p*q)=sqrt(100*.5*.5)

st.binom(100, .5).rvs() ⇒ 采样（trial）；

3. 连续性概率分布函数：pdf

pdf 表示的是函数，给一定输入值，就会得到一个输出值，而不是随机变量。

st.norm.pdf(0, loc=0, scale=1) ⇒ 12π\frac1{\sqrt{2\pi}}2π1

如下代码绘制出 f(x)=12πexp⁡(−(x−1)22)f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-1)^2}{2})f(x)=2π1exp(−2(x−1)2)
```
mu, sigma = 1, 1
xs = np.linspace(-5, 5, 1000)
plt.plot(x, st.norm.pdf(xs, loc=mu, scale=sigma))
plt.show()
```

st.multivariate_normal：多元正态分布；
scipy.stats.multivariate_normal

直接传递xxx，根据概率密度函数（pdf）获得其值；

x = np.linspace(0, 5, 10, endpoint=False)
y = st.multivariate_normal.pdf(x, mean=2.5, cov=.5)

首先定义随机变量，再取得 pdf 在各个位置上的值；

x, y = np.mgrid[-1:1:.01, -1:1:.01]
pos = np.empty(x.shape + (2,))
pos[:, :, 0] = x; pos[:, :, 1] = y
rv = multivariate_normal([0, 0], [[1, 0], [0, 1]])
plt.contourf(x, y, rv.pdf(pos))

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