概率统计：第三章 多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
内容提要：
一、 二维随机变量
1、二维随机变量的定义：设E是一个随机试验，它的样本空间是
， 
是定义在S上的随机变量，则
叫做二维随机向量或二维随机变量。
2、二维随机变量的分布函数的定义：设是二维随机变量，对于任意实数
，二元函数：
称
为二维随机变量的分布函数，或称为二维随机变量
和
的联合分布数.
3、二维随机变量的分布函数的性质：
(1) 是变量
的单调非降函数.
（2）
，且对于任意固定的
对于任意固定的，
，
.
(3) 关于变量
和
的分别右连续
（4）对于任意
有
需要注意的是：只要满足这四条的二元函数一定是分布函数。
4、设二维随机变量
的全部可能取到得值是有限对或无限可列对
记
则
称为二维离散型随机变量的分布律，或称为随机变量
的联合分布律。
二维离散型随机变量的分布函数为：
5、对于二维随机变量的分布函数
，如果存在非负的可积函数
使对于任意实数有
则称是连续的二维随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度，或称为随机变量的联合概率密度。
6、二维连续型随机变量的概率密度的性质：
（1) 
； （2）
；
(3) 设
是
面上的区域，点落内的概率为
；
（4）若在
连续，则 
。
注意：类似二维随机变量，我们可以定义多维随机变量及其分布函数，并讨论分布函数的性质。
二、条件分布和边缘分布
1、二维随机变量作为一个整体，具有分布函数，而X和Y作为随机变量，分布函数分别记为
和
，并依次称为二维随机变量关于X和关于Y的边缘分布函数，并且
。
（1）二维离散型随机变量，分布律
，则Ｘ和Ｙ的分布律分别为
和
分别称为关于和关于
的边缘分布律．
对固定的
，若
则称
为在
条件下随机变量的条件分布律。
对固定的
，若
则称
为在
条件下随机变量的条件分布律。
（2）二维连续型随机变量，概率密度为
，则和的概率密度分别为
和
分别称为关于X和关于Y的边缘概率密度．
对固定的，若
则称
为在
条件下随机变量的条件概率密度。
为在条件下随机变量的条件分布函数。
对固定的，若
则称
为在
条件下随机变量的条件概率密度。
为在条件下随机变量的条件分布函数。
注意：关于联合分布函数，边缘分布，条件分布的概念可以类似推广到
维随机变量上。
三、随机变量的独立性
1、二维随机变量的分布函数为，边缘分布函数分别为
和
，若对于任意实数，有
则称随机变量与称是相互独立的。
当是离散型随机变量时，与相互独立的充要条件是对于的所有可能取值有
当是连续型随机变量时，与相互独立的充要条件是等式
几乎处处成立。
注：所谓“几乎处处成立”是指平面上除去面积为零的以外，处处成立。
2、设
是维随机变量，其分布函数为
其中
为任意实数。
若维随机变量的分布函数是
已知，则的
维边缘分布函数就随之确定。例如
维随机变量
的分布函数为
若
是维连续型随机变量的概率密度，则的维边缘概率密度就随之确定。例如维随机变量的概率密度为
若对于任意
有
则称
是相互独立的。
若对于任意；
有
则称与
相互独立。
若与相互独立，则
与
相互独立，其中
是连续函数。
四、多个随机变量的函数的分布
1、设是离散型随机变量，分布律为
，
则
的分布律为
设是连续型随机变量，密度函数为,的分布函数为
2、设是连续型随机变量，密度函数为,
的分布函数为
特别地,当和相互独立, 分布密度分别为
和,的分布函数为
可以得到以下结论:
若
,且
相互独立,则
若
,且相互独立,则
3、设离散型随机变量，和相互独立, 分布律分别为
和 
,则的分布律为
4、设是个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为
，记
， 
，则
的分布函数为
的分布函数为
特别地，当具有相同的分布函数
时有，
典型例题分析
例1、 设二维随机变量的联合概率密度函数为
其中
，则称服从参数为
的二维正态分布，记为
。
则的边缘分布和条件分布都是正态分布，且
，
。
对于给定的实数
在
下的条件分布为
于给定的实数
在
下的条件分布为
解：具有概率密度
因为
所以，
即
。
同理
即。
对于给定的实数在下的条件概率密度函数为
即
对于给定的实数在下的条件概率密度函数为
即
所以，二维正态变量的边缘分布和条件分布都是正态分布。
例2、 设随机变量具有概率密度为
（1）求
，并判定随机变量
是否相互独立；
(2)求的概率密度函数.
解： （1）
同理
由于
随机变量不相互独立。
（2）的概率密度函数为
例3、 设随机变量具有概率密度
求
的概率密度函数.
解：设的分布函数为
，
则当
时，
；
当
时，
所以的概率密度函数
例4、设随机变量相互独立，具有相同的概率密度
求
的概率密度函数.
解： 
的分布函数为
所以
的概率密度函数为
的分布函数为
所以的概率密度函数为
例5、若
,且
相互独立,则
证明：
所以
。
由于,且相互独立,
下面我们用数学归纳法，证明 。
当
结论成立。假设有，
。
由于相互独立,则
相互独立,且
，，所以有
。
例6、随机变量的概率密度函数为
证明和不相互独立，
和
相互独立.
解：
同理
由于，
所以和不相互独立。
当
时，
当
时，
；
同理，当
时，
；
显然
时，
；
当
时，
；
即
又
同理
所以，任意对于实数
，有
，于是
和
相互独立。
自测题
一、填空题（每空3分，共21分）
(1)随机变量和相互独立，且
，则随机变量
的分布律为
(2)设和是两个随机变量，
，
，则
．
（3）已知随机变量具有概率密度
则
，的边缘密度函数
．
（4）已知随机变量具有概率密度
则 ，
＝．
（5）设
相互独立，且
，
则
．
二.（9分） 设随机变量具有概率密度为
求的概率密度函数.
三（10分）．随机变量和相互独立，它们的概率密度函数分别为
求的概率密度函数.
四、（10分）设随机变量和相互独立，
，求
五、（10分）设随机变量具有概率密度为
（1） 求边缘概率密度函数； （2）判定随机变量是否相互独立；
(3) 求的条件概率密度函数.
六、（10分）设随机变量相互独立，具有相同的概率密度
求
的概率密度函数.
七、（10分）随机变量和相互独立，它们的概率密度函数分别为
求的概率密度函数。
八、（10分）设随机变量相互独立，具有相同的概率密度
求
的概率密度函数.
九、（10分） 若
,且相互独立,则
（四）自测题参考答案
一、（1）
; (2)0.8;
(3)
, 
)； (4)
；
(5)
二、 
三、
四、
五、（1）
（2）不相互独立； （3）
（2）
六、
七、 
八、
九、（略）
from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap3.htm
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