43-圣诞老人的礼物

从这里开始我们学习一个新的思想，贪心的思想，仍然是通过例子来学习思想。

问题描述

圣诞节来临了，圣诞老人准备分发糖果，现在有多箱不同的糖果，每箱糖果有自己的价值和重量，每箱糖果都可以拆分成任意散装组合带走。圣诞老人的驯鹿雪橇最多只能装下重量W的糖果。请问圣诞老人最多能带走多大价值的糖果。

输入:
第一行由两个部分组成，别为糖果箱数正整 n (1 <= n <= 100) ，驯鹿能承受的最大重量正整数 w (0 < w <10000)，两个数用空格隔开。其余 n 行每行对应一箱糖果，由两部分组成，分别为一箱糖的价值正整数 v 和重量正整数 w，中间用空格隔开。
输出:
输出圣诞老人能带走的糖果最大总价值，保留 1 位小数。输出为一行，以换行符结束。

样例输入：
4 15
100 4
412 8
266 7
591 2
样例输出:
1193.0

问题分析

按礼物的价值/重量比从大到小依次选取礼物，对选取的礼物尽可能多地装，直到达总重量w。
先对礼物的价值重量比排序，再遍历一遍，所以复杂度为 O(nlogn)

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;const double eps = 1e-6;
struct Candy {int v, w;bool operator < (const Candy & c){return double(v) / w - double(c.v) / c.w > eps;}
} candies[110];int main()
{int n, w;cin >> n >> w;for (int i = 0; i < n; ++i)cin >> candies[i].v >> candies[i].w;sort(candies, candies + n);int totalW = 0;double totalV = 0;for (int i = 0; i < n; i++){if (totalW + candies[i].w < w){totalV += candies[i].v;totalW += candies[i].w;}else{totalV += (double)(w - totalW)*candies[i].v / candies[i].w;break;}}cout << totalV << endl;return 0;
}

证明

直观感觉上面的方法是正确的，现在给出证明。这里用替换法证明。上面我们的计算结果序列为 b₁ , b₂ , b₃ ……，假设有另外一个序列 a₁ , a₂ , a₃ ……，可以使得价值最大。如果我们可以证明两个序列相同，就得出上面贪心的思想是正确的。

将两个序列按价值 / 重量比从大到小排序后得：
序列 1：a₁ , a₂ , a₃……
序列 2依次进行比较：
序列 2：b₁ , b₂ , b₃…

价值重量比相同的若干箱糖果，可以合并成一箱。所以两个序列中元素都不复。
将 a_i 与 b_i 进行对比对于发现的第一个 a_i! = b_i ,则必有： a_i< b < b_i，因为序列2是全部物品完全按照价值重量比排序，从大到小挑选的， b_i 肯定是未挑选物品中价值重量比最大的，则在序列 1 中，用 b_i 这种糖果替代若干重量的 a_i 这种糖果，则会使得序列 1 的总价值增加，这和序列 1 是价值最大的取法矛盾。

序列 2 不可能是序列 1 的一个前缀。如果序列 2 为序列 1 的前缀，则序列 1 的总重量大于序列 2 的总重量，大于可以装载的总重量了。

所以：序列 1 = 序列 2

贪心算法

贪心算法的主要思想为：每一步行动总是按某种指标选取最优的操作来进行，该指标只看眼前，并不考虑以后可能造成的影响。该指标只看眼前，并不考虑以后可能造成的影响。

贪心算法需要证明其正确性。

“圣诞老人礼物”题，若糖果只能整箱拿，则贪心法错误。
考虑下面例子：
3个箱子 (8,6) (5,5) (5,5)，雪橇总容量10