康托展开(基于全排列的某一种hash)

康托展开：

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

先举个简单例子

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个 123 132 213 231 312 321

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑:

第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123 213 小于3的数有1，2 所以有2*2!个

再看小于第二位2的小于2的数只有一个就是1 所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个

所以321是第6个大的数 2*2!+1*1!是康托展开

再举个例子

1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数

第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3!

第二位是3小于3的数有1，2 但1已经在第一位了所以只有一个数2 1*2!

第三位是2小于2的数是1，但1在第一位所以有0个数 0*1!

所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个 1324是第三个大数。

看一段把一个8位的不重复八进制数字串进行康托展开的代码

unsigned long cantor(unsigned long S)
{long x=0,i,p,k,j;bool hash[8]={false};for (i=8;i>=2;i--){k=S>> 3*(i-1);S-=k<<3*(i-1);hash[k]=true;p=k;for (j=0;j<=k-1;j++)if (hash[j])p--;x+=fac[i-1]*p; //fac存的是阶乘 fac[1] = 1, fac[2] = 2, fac[3] = 6...}return x;
}

康托展开的逆运算：

{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序，要找出第16个数：

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1

所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

康托展开的逆运算代码:

void invKT(int n, int k, int s[])
{  int i, j, t, vst[8]={0};  k--;  for (i=0; i<n; i++)  {  t = k/fac[n-i-1];  for (j=1; j<=n; j++)  if (!vst[j])  {  if (t == 0) break;  t--;  }  s[i] = j;  vst[j] = 1;  k %= fac[n-i-1];  }
}

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