洛谷P1088.火星人【模拟/搜索/康托展开】

题干
- 题目描述
- 输入格式
- 输出格式
- 输入输出样例
- 说明/提示
题意
思路一——模拟
- 分析
- 上代码
思路二——搜索
- 分析
- 上代码
思路三——变进制数与康托展开
- 理解
- - “次序数列”的引入
  - 全排列与次序数列的一一对应
  - 次序数列、变进制数、康托展开
- 分析
- 上代码

题干

题目描述

人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言，但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的，首先，火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家，科学家破解这个数字的含义后，再把一个很小的数字加到这个大数上面，把结果告诉火星人，作为人类的回答。

火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手，但这只手上有成千上万的手指，这些手指排成一列，分别编号为1,2,3…1,2,3…。火星人的任意两根手指都能随意交换位置，他们就是通过这方法计数的。

一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为1,2,3,4和5，当它们按正常顺序排列时，形成了55位数12345，当你交换无名指和小指的位置时，会形成55位数12354，当你把五个手指的顺序完全颠倒时，会形成54321，在所有能够形成的120个5位数中，12345最小，它表示1；12354第二小，它表示2；54321最大，它表示120。下表展示了只有3根手指时能够形成的6个3位数和它们代表的数字：

三进制数

123
132
213
231
312
321

代表的数字

1
2
3
4
5
6

现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指，科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是，把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加，并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。

输入格式

共三行。
第一行一个正整数N，表示火星人手指的数目（1≤N≤10000）。
第二行是一个正整数M，表示要加上去的小整数（1≤M≤100）。
下一行是1到N这N个整数的一个排列，用空格隔开，表示火星人手指的排列顺序。

输出格式

N个整数，表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开，不能有多余的空格。

输入输出样例

输入
5
3
1 2 3 4 5
输出
1 2 4 5 3

说明/提示

对于30%的数据，N≤15；

对于60%的数据，N≤50；

对于全部的数据，N≤10000；

题意

题干啰里啰唆半天，翻译成大白话就是——
对于1到N这N个数字构成的N！种全排列，按照它们代表的自然数的大小顺序，建立这N！种排列与自然数1到N！的一个一一映射，并能够双向索引。
当然，在具体的完成题目的过程中，不一定要使程序能做到上述全部，这在之后的题解中可以看出来。
注：下面大部分思路均来源于洛谷题解，用个人理解后的语言重新解释了一下，让自己能够更加理清思路。

思路一——模拟

分析

看到这个题，第一想法是找规律，用人脑去模拟这个找到紧挨着的下一种全排列的过程。
首先我们规定，最高位为数位1，最低位为数位N，方便之后讨论。
有这样几点显然的想法：

应该尽量改变更大的若干个数位的排列方式，而不是更小的；
当后x位形成一个递降的序列时，我们必须再往前考虑一位了；
当a[x]<a[x+1]时，我们不可能改变a[x-1]来获得下一个紧挨着的全排列；

（比如，对于12354，后两位是一个递降的序列，我们不能够只在改变后两位的过程中寻找下一种排列了，这时必须改变后三位；再对于12543，后三位是递降序列，下一个排列必然要改动2了）
有了一些想法之后，我们从头开始模拟，以12345为例：

第一次操作
考虑第四位（倒数第二位）是否可以增加？
发现第四位小于第五位，说明可以操作第四位；在当前排列从后往前找到最小的可增加的数字5；交换4和5，使原排列增大，得到12354；最后使操作位第四位之后的所有位的数字从小到大排列，得到12354；
第二次操作
考虑第四位（倒数第二位）是否可以增加？
发现第四位大于第五位，说明不能操作第四位；
于是考虑第三位是否可以增加？
发现第三位小于第四位，说明可以操作第三位；找到最小的可增加的数字4，交换3和4，得到12453；最后使操作位第三位之后的数字从小到大排列，得到12435；
第三次操作
考虑第四位是否可以增加？
发现第四位小于第五位，说明可以操作第四位；从后往前找到最小的可增加的数字5；交换3和5，得到12453；最后使第四位之后的所有数字从小到大，还是得到12453；
第四次操作
第四位不能操作，第三位小于第四位，可以操作第三位；从后往前找到最小的数字5，交换4和5，得到12543；最后还是12543；
第五次操作
操作第二位；找到3，交换2和3，得到13542；最后让第二位之后的所有数字从小到大，得到13245；

之后全部操作类似，第一次举例，写了很多，方便理解整个过程。从这个过程中不难看出：
在操作第i位的时候，当前的排列中，从第（i+1)位到第N位一定是一个递降的序列，并且第（i+1)位大于第i位；
在上述递降的序列中从后往前找到第一个比第i位大的数并交换二者；（因为是从后往前，所以能保证是最小的满足条件的数）
交换之后，从第（i+1)位到第N位仍是一个递降的序列；这时让第（i+1)位到第N位逆序过来，变成一个递增的序列；
然后就得到了下一个紧邻的排列。

上代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
int b[maxn + 10];
int n, m, i, j;
void init()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> b[i];
}void out()
{for (int i = 1; i < n; i++)cout << b[i] << ' ';cout << b[n] << endl;
}void solve()
{while (m--)//一共操作m次{for (i = n - 1; i >= 1; i--)//确定当前应该操作哪一位if (b[i] < b[i + 1])//发现第i位满足要求break;for (j = n; j > i; j--)//确定哪个数和第i位的数交换if (b[j] > b[i])//发现第j位满足要求break;swap(b[i], b[j]);//让第(i+1)位到第N位逆序for (int k = i + 1; k <= (i + 1 + n) / 2; k++)swap(b[k], b[n + i + 1 - k]);}
}int main()
{init();solve();out();return 0;
}

思路二——搜索

分析

首先我们会想到这样一道关于”全排列“的基础题：

这就是一个典型的深度优先搜索模板。先看看这个题的AC代码：

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int a[10];
bool used[10];
int n;
void print()
{for (int i = 1; i <= n; i++)cout << setw(5) << a[i];
}
void dfs(int k)
{if (k > n){print();cout << endl;return;}for (int i = 1; i <= n; i++){if (!used[i]){a[k] = i;used[i] = 1;dfs(k + 1);used[i] = 0;}}
}
int main()
{cin >> n;dfs(1);return 0;
}

这样可以得到全部的排列，并且是按顺序的！！！
那么这个题对于我们这个火星人的题目有什么启发吗？
dfs的过程就是，先走出12345，然后一步步回溯，依次得出排列；所以我们从外星人给出的排列设定初始数组，第一次搜索到达的即为外星人给出的排列，再回溯m步，得到的就是我们的目标排列，输出这个答案即可。

上代码

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
int a[maxn+10];
bool used[maxn+10];
int n, m, cnt = 0, flag = 0;
void init()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];
}
void out()
{for (int i = 1; i < n; i++)cout << a[i] << ' ';cout << a[n] << endl;
}
void dfs(int k)
{if (flag)return;if (k > n){cnt++;//第一次到达时，仍为初始排列，cnt变为1，所以最后到达时应该等于m+1if (cnt == m + 1)//到达了我们的目标全排列{out();//按要求输出flag = 1;//标记好，一路return直到退出}}for (int i = 1; i <= n; i++){if (!cnt)i = a[k];//保证第一次到达时的数列就是外星人给出的原始数列if (!used[i]){a[k] = i;used[i] = 1;dfs(k + 1);used[i] = 0;}}
}
int main()
{init();dfs(1);return 0;
}

思路三——变进制数与康托展开

理解

参考这两个知乎链接：

迟到的【洛谷日报#187】浅谈康托展开
康托展开怎么理解？回答者：JohnstonXi

给出一个全排列，求它是第几个全排列，叫做康托展开。
给出全排列长度和它是第几个全排列，求这个全排列，叫做逆康托展开。

先不管这些术语。

“次序数列”的引入

我们要引入一个次序数列；
灵感来源是啥？
对于一个全排列，第i位有（n-i+1)种选择；
我们希望实现：当第i位从小到大试完了这（n-i+1）种选择之后，并且后面的每一位也都到达了最大的临界状态，再加1时，就应该进位，同时后面的每一位都退回到最小的状态，让第i-1位开始从小到大尝试（n-i+2）种选择。
这也照应了思路一的朴素模拟过程。

但是对于原始的排列来说，我们并不能确定第i位的（n-i+1)种选择具体是哪些数，它取决于前面i-1位的数的选择情况；
但是我们希望，这（n-i+1)种选择，最好是我们能够固定已知的，比如从0到（n-i）；
到这我们就想到，不管这（n-i+1)种选择具体是哪些数，它们一定有着一个大小关系，最小的选择规定为0，最大的选择规定为（n-i）即可！
根据这个规定，我们就可以引入次序数列了。

全排列与次序数列的一一对应

例一：把全排列12345转换为次序数列
第1位，有5种选择{1，2，3，4，5}，选择了最小的数，1，所以次序数列的第1位为0；
第2位，有4种选择{2，3，4，5}，选择了最小的2，所以次序数列的第2位为0；
以此类推……
得到次序数列为00000；
例二：把全排列54321转换为次序数列
第1位，有5种选择{1，2，3，4，5}，选择了最大的数，5，所以次序数列的第1位为4；
第2位，有4种选择{1，2，3，4}，选择了最大的数，4，所以次序数列的第2位为3；
以此类推……
得到次序数列为43210；
例三：把全排列52413转换为次序数列
第1位，有5种选择{1，2，3，4，5}，选择了最大的数，5，所以次序数列的第1位为4；
第2位，有4种选择{1，2，3，4}，选择了第二大的数，2，所以次序数列的第2位为1；
第3位，有3种选择{1，3，4}，选择了最大的数，4，所以次序数列的第3位为2；
以此类推……
得到次序数列为41200；
同理，给出一个次序数列，我们也能转换为唯一的全排列，下面只举一个例子
例四：把次序数列33210转换为全排列
第1位，有5种选择{1，2，3，4，5}，次序数列第1位为3，说明选择了第四大的数，4，所以全排列的第1位为4；
第2位，有4种选择{1，2，3，5}，次序数列第2位为3，说明选择了第四大的数，5，所以全排列的第2位为5；
以此类推……
得到全排列为45321；

通过四个例子已经很清晰了这样的转换规则；
至于严谨的证明这样的一一映射，个人感觉没有必要（其实是懒了QAQ）；感性上理解，在上述四个例子对每一位进行确定的过程中，都是唯一的。

次序数列、变进制数、康托展开

接着上面的四个例子，我们总结一下次序数列的性质：

第i位的取值范围是0到（n-i）；
每一位都可以取遍它的取值范围中的所有值；
（n!=n*(n-1)*……*1）
次序数列中更大的数对应的全排列也更大，相应的，次序也更大；

接下来，我们只需要建立次序数列和次序的一一映射，就可以建立全排列和次序的一一映射了；

下面想一个问题：什么是进制？

进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。

对于我们要求出的“次序编号”来说，它就是我们日常中标准的十进制；既然次序和全排列/次序数列是一种一一映射的关系，而“次序编号”不过是一种计数方法，那么我们为什么不能把“次序数列”也当成一种等价的计数方法呢？
我们发现，次序数列的每一位都满足进制的要求，也就是，第i位为（n-i+1）进制，第i位用且仅能用0到（n-i）这（n-i+1）个数码表示。

下面我们来模拟第i位为（n-i+1）进制的变进制数与十进制数之间的转换，这也就是次序数列和次序编号之间的转换。
还是以n=5为例：
次序编号为0，对应次序数列00000；
次序编号为1，在次序数列的最低位上加1，而第5位为1进制，所以进一位，得到次序数列00010；
次序编号为2，在次序数列的最低位上加1，第5位要进位，这时第4位变成2，而第4位为2进制，所以再进一位，得到次序数列00100；
次序编号为3，得到00110；
次序编号为4，得到00200；
次序编号为5，得到00210；
次序编号为6，再进一位，得到01000；
……
因为每一位能容纳的数有（n-i+1）个，所以在进位到第i位的时候，我们已经计了12……*（n-i）个数；
依此，我们就可以得到转换公式：

设次序数列的每一位为a₁,a₂,…,a_n，对应的次序编号为x，则有：
x=a_n * (n-1)! + a_n-1 * (n-2)! + …… + a₂ * 1! + a₁ * 0!

再多考虑一下，如何根据给出的全排列，直接得出次序数列（而不是像前面的例子一样，一位位找）？
先给出结论：

a_i = 全排列中第i位数与它后面的每一位数字构成的逆序对的数目

很好想，对最后一位a_n，一定是剩下的一个数里面最小的，对应为0；对a_n-1，当时剩下两个数，如果它与a_n构成逆序对，说明它不是最小的，对应1，否则对应0；对a_n-2，当时剩下三个数，如果能与后两个数都构成逆序对，说明是最大的，对应2，以此类推……
上述两点就组成了我们说的康托展开，它构建了一个全排列与自然数的双射~

分析

说了那么多，回到这道题，我们需要哪些步骤？

把火星人给出的全排列转化为次序数列；
次序数列加上题干给出的m，并依据变进制数的进位规则进行进位；
把进位后的次序数列转化为新的全排列。

怎么解决步骤1？
首先，如果不考虑是否使用过，那么读入a[i]，就是第a[i]大的数；
其次，考虑次序数列的定义，需要多开一个数组，记录1到n中哪些数字被用过；
比a[i]大的数字被用过，并不会对a[i]对应的次序数列的值产生影响；
只有比a[i]小的数字被用过，才会对a[i]对应的次序数列的值产生影响；
每读入一个a[i]，就扫描记录是否被用过的数组，下标从1到a[i]-1，用过，就对a[i]–；（注意多设一个临时变量，防止更改a[i]导致for循环中的范围被改变）；最后把a[i]标记为用过，读入下一个；

步骤1完成之后，数组a储存的是次序数列。

怎么解决步骤2？
很类似高精度加法，只不过每一位的进位方式都不一样而已；
先把m全都加到最后一位；
用for循环来进位（已知不会溢出到更多位），从后往前进行；
对当前位，保留余数，往前一位进商；

怎么解决步骤3？
先清空记录用过的数组；
对于第i位，当前次序数列的值为a[i]，我们对它的原始期望是a[i]+1；但是，从1到a[i]+1中，很可能会有用过的数，这个时候就应该调高对它的期望；
例如，对于次序数列的某个值1，本来只需要查看1到2是否有用过的，没有，那它在全排列中就是1+1=2；如果发现2用过，就让1++，变为2，查看3是否用过，没有，那它在全排列中就是2+1=3，不然，发现3也用过，再让2++，变为3，查看4是否有用过……

上代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
int a[maxn + 10], b[maxn + 10];
bool used[maxn + 10] = { 0 };
int m, n;
void step1()
{for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];int tmp = a[i];for (int j = 1; j < a[i]; j++){tmp -= used[j];}used[a[i]] = 1;a[i] = tmp-1;}
}void step2()
{a[n] += m;for (int i = n; i > 1; i--){a[i - 1] += a[i] / (n - i + 1);a[i] %= n - i + 1;}
}void step3()
{memset(used, 0, sizeof(used));for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= a[i] + 1; j++)a[i] += used[j];cout << a[i] + 1 << ' ';used[a[i] + 1] = 1;}
}
int main()
{cin >> n >> m;step1();step2();step3();return 0;
}

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说明/提示

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思路二——搜索

分析

上代码

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次序数列、变进制数、康托展开

分析

上代码

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