关于康托展开和逆康托展开详解，及python代码

在LeetCode上有这样一道题：
60. 第k个排列
给出集合 [1,2,3,…,n]，其所有元素共有 n! 种排列。

按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 n = 3 时, 所有排列如下：

“123”
“132”
“213”
“231”
“312”
“321”
给定 n 和 k，返回第 k 个排列。

说明：

给定 n 的范围是 [1, 9]。
给定 k 的范围是[1, n!]。
示例 1:

输入: n = 3, k = 3
输出: “213”
示例 2:

输入: n = 4, k = 9
输出: “2314”

这里可以用逆康托展开来做，先看下什么是康托展开：
定义： 康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的名次，因此是可逆的。
公式如下：
X=A[0]∗(n−1)!+A[1]∗(n−2)!+…+A[n−1]∗0!X = A[0] * (n-1)! + A[1] * (n-2)! + … + A[n-1] * 0!X=A[0]∗(n−1)!+A[1]∗(n−2)!+…+A[n−1]∗0!
其中A[i]A[i]A[i]表示当前数值比后面数值大的个数，举个例子：
1、2、3

排列	康托展开	名次
123	0* 2！+0* 1！+0* 0！=0	1
132	0* 2！+1* 1！+0* 0！=1	2

python代码实现：

from math import factorial
def kangtuo(nums):# nums: intlistnums = str(nums)lens = len(listnums)out = 0for i in range(lens):res = 0jiechen = factorial((lens-i-1))for j in range(i+1, lens):if listnums[j]< listnums[i]:res += 1out += res*jiechenreturn out+1

逆康托展开：
以542136为例：542136为559位，即n为6位，k为559
k = k-1 = 558
nums = [1,2,3,4,5,6]

558 /（6-1）!=558 / 120=4…78，则第一位数值后面有4位比他小的数，固为5=nums[4]，去掉5，nums=[1,2,3,4,6]
（558-4*120=78）/（5-1）!=3…6，则第二位数值后面有3位比他小的数，固为4=nums[3]，去掉4，nums=[1,2,3,6]
（78-72）/（4-1）!=1，则第三位数值后面有1位比他小的数，固为2=nums[1]，去掉2，nums= [1,3,6]
6-6=0，则第四位数值后面有0位比他小的数，固为nums[0]，nums=[3,6]
类似后面的数都为nums[0]

下面就是采用逆康托实现的60. 第k个排列解法：

class Solution(object):def getPermutation(self, n, k):""":type n: int:type k: int:rtype: str"""def jiechen(m):res = [1]for i in range(1, m+1):res.append(int(res[-1])*i)return res[-1]nums = []for i in range(1,n+1):nums.append(i)k = k-1out = []while nums:p = k//jiechen(len(nums)-1)out.append(nums[p])k = k-p*jiechen(len(nums)-1)nums.pop(p)return ''.join(map(str,out))

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