【学习小记】狄利克雷卷积+杜教筛

Preface

这东西分明就是玄学暴力
用来求简单的数论函数的前缀和，像φ,μφ,\mu这类的东西

当然，约数和，约数个数之类的也是可以的

Text

数论函数是指定义域是整数，陪域是复数的函数

Dirichlet 卷积

定义两个数论函数f,gf,g
它们的狄利克雷卷积表示f∗gf*g，设卷起来得到的新函数是hh

h(i)=∑d|if(i)g(id)

h(i)=\sum\limits_{d|i}f(i)g({i\over d})
明显hh也是一个数论函数

显然它满足交换，结合律，对加法满足分配律

有常见的一些数论函数
1(i)=1，n(i)=n1(i)=1，n(i)=n（常函数）
e(1)=1,e(n)=0(n>1)e(1)=1,e(n)=0(n>1) （单位元）
id(i)=iid(i)=i
idk(i)=ikid_k(i)=i^k
μ(i)\mu(i)（莫比乌斯函数，不解释）
φ(i)φ(i)（欧拉函数，不解释）
约数个数，设为d(i)=∑d|i1d(i)=\sum\limits_{d|i} 1
约数和，设为σ(i)=∑d|id\sigma(i)=\sum\limits_{d|i}d

显然有以下常见的卷积形式

任意函数卷积单位元仍为它本身

d=1∗1d=1*1
σ=id∗1\sigma=id*1

因为e(n)=∑d|nμ(d)e(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)
所以

e=1∗μe=1*\mu

因为φ(n)=∑d|nμ(d)ndφ(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d){n\over d}
所以

φ=μ∗idφ=\mu*id

因为n=∑d|nφ(d)n=\sum\limits_{d|n}φ(d)
所以

id=φ∗1id=φ*1

杜教筛

考虑如何求μ\mu的前缀和

比如说101010^{10}？
线筛会T

设S(n)=∑i=1nμ(i)S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\mu(i)
确定一个合适的数论函数gg

∑i=1n(g∗μ)(i)=∑i=1n∑d|iμ(id)g(d)

\sum\limits_{i=1}^{n}(g*\mu)(i)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}\mu({i\over d})g(d)
交换主体

=∑d=1n∑d|iμ(id)g(d)

=\sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{d|i}\mu({i\over d})g(d)

=∑d=1ng(d)∑i=1⌊nd⌋μ(i)

=\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor {n\over d}\rfloor}\mu(i)

=∑d=1ng(d)S(⌊nd⌋)

=\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)S({\lfloor {n\over d}\rfloor})

那么g(1)S(n)=∑i=1n(g∗μ)(i)−∑d=2ng(d)S(⌊nd⌋)g(1)S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(g*\mu)(i)-\sum\limits_{d=2}^{n}g(d)S({\lfloor {n\over d}\rfloor})

要使gg和g∗μg*\mu尽量容易求，可以想到gg用11函数是比较合适的，即g(i)=1g(i)=1

因为1∗μ=e1*\mu=e
原式化为

S(n)=1−∑d=2nS(⌊nd⌋)

S(n)=1-\sum\limits_{d=2}^{n}S({\lfloor {n\over d}\rfloor})

可以用线筛预处理前(√n)\sqrt(n)或者n23n^{2\over 3}的SS，后面减的部分分块处理，递归下去，再哈希或者什么东西把算过的S记忆化一下

复杂度取决于预处理的多少

实验和理论都证明，预处理前n23n^{2\over 3}个S，总复杂度最优，为O(n23)O(n^{2\over 3})

据说证明要用积分？然而我并不会。。。

对于求欧拉函数的前缀和，方法也是一样的，gg仍取11，只不过g∗φ=idg*φ=id
前面的1改成n(n+1)/2n(n+1)/2