常见积性函数

μ\muμ

φφφ

d(n)d(n)d(n)：nnn的约数个数

σ(n)σ(n)σ(n)：nnn的约数和

ϵ(n)ϵ(n)ϵ(n)：单位元函数，e(n)=[n=1]e(n)=[n=1]e(n)=[n=1] （完全积性）

I(n)I(n)I(n)：I(n)=1I(n)=1I(n)=1（完全积性）

id(n)id(n)id(n)：id(n)=nid(n)=nid(n)=n （完全积性）

∑d∣nφ(d)=n\sum_{d|n}φ(d)=nd∣n∑φ(d)=n∑d∣nμ(d)=[n=1]\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]d∣n∑μ(d)=[n=1]∑d∣nφ(d)×d=n×φ(n)+[n=1]2\sum_{d|n}φ(d)\times d=\frac{n\times φ(n)+[n=1]}{2}d∣n∑φ(d)×d=2n×φ(n)+[n=1]

公式推导

求∑i=1nf(i)\sum_{i=1}^nf(i)i=1∑nf(i)

狄利克雷卷积

定义两个数论函数f,gf,gf,g的狄利克雷卷积为hhh
(f∗g)(n)=h(n)⇔h(n)=∑d∣nf(d)×g(nd)=∑d∣ng(d)×f(nd)(f*g)(n)=h(n) \Leftrightarrow\ h(n)=\sum_{d|n}f(d)\times g(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}g(d)\times f(\frac{n}{d})(f∗g)(n)=h(n)⇔ h(n)=d∣n∑f(d)×g(dn)=d∣n∑g(d)×f(dn)

如果 f,gf,gf,g 是积性函数则 hhh 函数也是一个积性函数。

证明：令 n=x∗y∧(x,y)=1n=x*y\wedge(x,y)=1n=x∗y∧(x,y)=1。
h(n)=∑d∣nf(d)g(nd)⇔h(xy)=∑d1∣x,d2∣yf(d1d2)g(xd1yd2)=∑d1∣x,d2∣yf(d1)f(d2)g(xd1)g(yd2)h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac n d)\Leftrightarrow h(xy)=\sum_{d_1|x,d_2|y}f(d_1d_2)g(\frac x {d_1}\frac y {d_2})=\sum_{d_1|x,d_2|y}f(d_1)f(d_2)g(\frac x{d_1})g(\frac y{d_2})h(n)=d∣n∑f(d)g(dn)⇔h(xy)=d1∣x,d2∣y∑f(d1d2)g(d1xd2y)=d1∣x,d2∣y∑f(d1)f(d2)g(d1x)g(d2y)=∑d1∣xf(d1)g(xd1)∑d2∣yf(d2)g(yd2)=h(x)h(y)=\sum_{d_1|x}f(d_1)g(\frac x{d_1})\sum_{d_2|y}f(d_2)g(\frac{y}{d_2})=h(x)h(y)=d1∣x∑f(d1)g(d1x)d2∣y∑f(d2)g(d2y)=h(x)h(y)

卷积满足乘法交换/结合律/分配律 (这不是重点

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筛积性函数的前缀和

常见积性函数

公式推导

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