huntian oy (数论卷积杜教筛)

huntian oy (数论&卷积&杜教筛)

思路：

f(n,a,b)=∑i=1n∑j=1igcd(ia−ja,ib−jb)[gcd(i,j)=1](mod109+7)f(n,a,b)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^i gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\pmod{10^9+7}f(n,a,b)=i=1∑nj=1∑igcd(ia−ja,ib−jb)[gcd(i,j)=1](mod109+7)

gcd(ia−ja,ib−jb)gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)gcd(ia−ja,ib−jb)

ia−ja=(i−j)(ia−1+ia−2j+⋯+ja−1)i^a-j^a=(i-j)(i^{a-1}+i^{a-2}j+\dots+j^{a-1})ia−ja=(i−j)(ia−1+ia−2j+⋯+ja−1)

ib−jb=(i−j)(ib−1+ib−2j+⋯+jb−1)i^b-j^b=(i-j)(i^{b-1}+i^{b-2}j+\dots+j^{b-1})ib−jb=(i−j)(ib−1+ib−2j+⋯+jb−1)

因为a,ba,ba,b互质。

所以gcd(ia−ja,ib−jb)=i−jgcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-jgcd(ia−ja,ib−jb)=i−j

原式=∑i=1n∑j=1i(i−j)[gcd(i,j)=1]=∑i=1ni×φ(i)−∑i=1n∑j=1ij[gcd(i,j)=1]=∑i=1ni×φ(i)−(∑i=1ni×φ(i)2−12)=∑i=1ni×φ(i)−12=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^i (i-j)[gcd(i,j)=1]\\=\sum\limits_{i=1}^n i\times \varphi(i)-\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^i j[gcd(i,j)=1]\\=\sum\limits_{i=1}^n i\times \varphi(i)-(\sum\limits_{i=1}^n \dfrac{i\times \varphi(i)}{2}-\dfrac{1}{2})\\=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n i\times \varphi(i)-1}{2}=i=1∑nj=1∑i(i−j)[gcd(i,j)=1]=i=1∑ni×φ(i)−i=1∑nj=1∑ij[gcd(i,j)=1]=i=1∑ni×φ(i)−(i=1∑n2i×φ(i)−21)=2i=1∑ni×φ(i)−1

然后一股神秘的卷积力量可将式子变为递推式。（这里卷积学的不好待补)

S(n)=∑i=1ni2−∑i=2niS(ni)S(n)=\sum\limits_{i=1}^n i^2-\sum\limits_{i=2}^n iS(\dfrac{n}{i})S(n)=i=1∑ni2−i=2∑niS(in)

对于n≤106n\le 10^6n≤106的数据可用第一个式子。

否则用递推式记忆化递归。

求φ(i)\varphi(i)φ(i) 用欧拉筛即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e6+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define il inline
ll inv2,inv6,phi[N];
ll ksm(ll a,ll n){ll ans=1;while(n){if(n&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;n>>=1;}return ans;
}
int a[N],p[N],cnt;
void Euler(int n){phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!a[i]){p[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=n;j++){a[p[j]*i]=1;if(i%p[j]==0){phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j];break;}else phi[p[j]*i]=phi[i]*phi[p[j]];}}for(int i=2;i<=n;i++){phi[i]=(phi[i-1]+phi[i]*i%mod)%mod;}
}
unordered_map<int,int>mp;
int solve(int n){if(n<=N-5) return phi[n];if(mp[n]) return mp[n];ll tmp=1LL*n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*inv6%mod;    //这里要用3个mod for(int l=2,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);tmp-=1LL*(r-l+1)*(l+r)/2%mod*solve(n/l)%mod;tmp=(tmp%mod+mod)%mod;      } return mp[n]=tmp;
}
int main(){inv2=ksm(2,mod-2),inv6=ksm(6,mod-2);int t;Euler(N-5);scanf("%d",&t);while(t--){int n,a,b;scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);int ans=1LL*(solve(n)-1)*inv2%mod; ans=(ans%mod+mod)%mod;printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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