文章目录

一：内积、长度、正交性
- 1.1内积
- 1.2长度
- 1.3正交向量
- 1.4总结
二：正交集
- 2.1定义
- 2.2定理--正交基
- 2.3正交投影
- 2.4单位正交集
三：正交矩阵
- 3.1单位正交列向量
- 3.2性质
- 3.3正交矩阵初入门
四：拉格姆-施密特方法
- 4.1定义
- 4.2步骤
- 4.3例子
- 4.4QR分解

一：内积、长度、正交性

1.1内积

1.定义：

2.定理：

注：从上面的性质可以简单总结出其是符合“对加法、对乘法封闭的”。

1.2长度

1.定义：

2.单位向量

3.n维空间的距离

1.3正交向量

注：补充定理

1.4总结

以上比较简单，但是有时候总是忘，可能是年纪大了，留着简单回顾吧！！！！！！！！！

二：正交集

2.1定义

2.2定理–正交基

注：因为正交基的优越性，其必然是在当前子空间的线性无关集，所以两两正交，从而对于子空间内的任一个由其表示的向量已知的时候，对于权重由于线性无关集的正交性从而比较容易求出，了解即可！！！！

2.3正交投影

注：这部分简单总结如下，一个向量往另一个向量（所在直线的所有）投影的过程。

几何解释：

注：这部分则是将投影和正交基结合起来，可以看到定理5其实就是投影的权重系数，所以一个n维空间的向量可以由其空间的n个正交基表示，这也就是线性表示！！！！！！！！！！

2.4单位正交集

注：其实就是标准正交基！！

三：正交矩阵

3.1单位正交列向量

注：此时，不是单位正交矩阵，因为不是方阵！

3.2性质

注：
具体证明参照例题，P340页自己看书吧。

3.3正交矩阵初入门

正交矩阵： 一个可逆的方阵，并且转置矩阵等于逆矩阵。—行向量组是正交集、列向量组是正交集。
当矩阵是方阵的时候，上面的定理6和定理7就非常有用了，对于定理6：此时的矩阵就是标准正交矩阵。

注：正交矩阵在第七章节会发挥更大的作用，现在了解即可，第七章见---------------待

四：拉格姆-施密特方法

4.1定义

注：这里每个向量都是n维的，但是根据向量的个数，可以构造其不同子空间下的正交基和标准正交基~

4.2步骤

注：标准正交基则在其基础上进一步做单位向量即可，了解即可-----------------证明见参考书吧~~~

4.3例子

注：给出两个例子，有兴趣自己看看吧。

4.4QR分解

注：知道得了。。。。。。

参考书籍：线性代数及其应用（原书第5版）
书籍下载：https://download.csdn.net/download/qq_37534947/13115301

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