线性代数(六) ：线性相关与线性无关

线性相关(Linear dependent)与线性无关(Linear independent)对于理解子空间的基，子空间的维数，以及矩阵的秩等等是重要的.

1 线性相关与线性无关

考虑R^2 空间中的一组向量v1和v2和v3：

v3= (-0.5)v1 => 0.5v1+v3=0(零向量). 这表明v3可以表示为v1的线性组合,可以通俗的理解为. v3可以用v1来表示.但是从图中可以看出v2和v1,v3就不能互相表示,

如果一组向量中的任意一个可以表示为其他向量线性组合,那么这组向量称为线性相关的.否则是线性无关的。

很明显共线的向量线性相关的。

数学定义如下：

如果线性空间X中的向量组x1,x2,...,xj存在如下线性关系：

k1x1+k2x2+,...,+kjxj=0, （1）

其中k1,...,kj为不全为零的实数.则称x1,x2,...,xj线性相关.如果只有当k1,...,kj全为零时才满足（1）式,则称x1,x2,...,xj线性无关.

2 线性无关的性质

下边给出线性无关的一些性质：

(i) 若向量x1,...,xj线性无关,则每一个向量xi 都不是零向量

证明：假设存在一个零向量.就设为x1好了,则有：

1x1 + 0x2 +,...,+0xj = 0(零向量)这说明此事的x1,...,xj是线性相关的,与条件矛盾,因此就证明了线性无关的向量组每一个向量都不是零向量.

(ii)设向量x1,,,,,xn张成线性空间X,若X中的向量y1,...,yj线性无关,则有j<=n;

证明：x1,,,,,xn张成线性空间X 则：y1 = k1x1+k2x2+,...,+knxn; （2）

因为y1,...,yj线性无关，有y1不是零向量这样由（2）可知y1与x1,,,,,xn线性相关。

这样用y1代替x1（不一定非要x1）得到的向量组还可以张成X,假设j>=n重复上边的步骤就可以用y1,...,yn代替x1,,,,,xn并且也能张成X.

这样y（n+1）就可以表示为y1,...,yn的线性组合.这与全体y向量线性无关矛盾.证明结束.

这个性质对于下一节中子空间的基和维度的概念是很有用的。

(ii) R^2中的两个线性无关的向量x(x1,x2),y(y1,y2)可以张成R^2

证明：假设x和y的一个线性组合为一个向量a（a1,a2）即：

k1x+k2y=a => k1*x1+k2*y1 = a1; k1*x2+k2*y2=a2;

解这个二元一次方程组可知（解的过程略。）：

当x1y2≠x2y1的时候方程组总存在解；因为x与y线性无关。则x与y不是共线的向量.所以必然有x1y2≠x2y1。

因此上述方程组总有解。也就是说对于R^2中任意的向量都可以表示为x和y的线性组合。证明结束。

那么是不是R^n可以由n个线性无关的向量张成呢？