矩阵分析与应用-13-矩阵的迹

矩阵的迹

$n\times n$ 矩阵 $A$ 的对角元素之和称为 $A$ 的迹(trace)(注：非正方矩阵无迹的定义)，记作 $tr(A)$ ，即

$tr(A)=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=\sum_{i=1}^n a_{ii}$

例如矩阵：

$A=\begin{bmatrix} 1 &3 &2 \\ -1 &5 &1 \\ 3& 0& 7 \end{bmatrix}$

其迹为： $tr(A)=1+5+7=13$

下面是矩阵的迹满足的等式、不等式关系与一些性质。

关于迹的等式

()若A和B均为n×n矩阵，则tr(.A土B)= tr(A)±tr(B)。

(2)若c是一个复或者实的常数，则 tr(cA) = ctr(A)。

(3)若A和B均为n×n矩阵，并且 $c_1$ 和 $c_2$ 。为常数，则 $tr(c_1A \pm c_2B)=c_1tr(A)\pm c_2tr(B)$ 。

(4)矩阵A的转置、复数共辄和复共瓴转置的迹分别为

$tr(A^T)=tr(A)$

$tr(A^*)=[tr(A)]^*$

$tr(A^H)=[tr(A)]^*$

(5)迹是相似不变量:若A 为m × n矩阵，且B为n x m矩阵，则tr(AB) = tr(BA).

(6)若矩阵A和B均为mx n矩阵，并且非奇异，则 $tr(BAB^{-1})=tr(B^{-1}AB)=tr(A)$

(7)若A是一个m×n矩阵，则 $tr(A^HA)=0\Leftrightarrow O_{m\times n}$ (零矩阵)。

(8) $x^HAx=tr(Axx^H)$ 和 $y^Hx=tr(xy^H)$ 。

(9)分块矩阵的迹满足

$tr\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix}=tr(A)+tr(D)$

式中， $A \in C^{m\times m}$ , $B\in C^{m \times n}$ , $C\in C^{n \times m}$ , $D\in C^{n \times n}$ 。

(10)矩阵 $A^HA$ 和 $AA^H$ 的迹相等，且有

$tr(A^H)=tr(AA^H)=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}a^*_{ij}a_{ji}$

(11)迹等于特征值之和，即

$tr(A)=\lambda _1+\lambda _2+...+\lambda _n$

(12)对于任何正整数k，有

$tr(A^k)=\sum^n_{i=1}\lambda _i^k$

式右的和称为A的诸特征值的k次矩。

2.关于迹的不等式

(1)对一个复矩阵 $A \in C^{m\times n}$ ，有 $tr(A^HA)=tr(AA^H)\geq0$ 。

(2)若A,B均为m × n 矩阵，则

$tr[(A^TB)^2] \leq tr(A^TA)tr(B^TB)$ (Cauchy-Schwartz不等式)

$tr[(A^TB)^2] \leq tr(A^TAB^TB)$

$tr[(A^TB)^2] \leq tr(AA^TBB^T)$

(3) Schur 不等式: $tr(A^2)\leq tr(A^TA)$ 。

(4) $tr[(A+B)(A+B)^T]\leq 2[tr(AA^T)+tr(BB^T)]$ 。

(5)若A和B为m x m对称矩阵，则 $tr(AB)\leq\frac{1}{2}tr(A^2+B^2)$ 。

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