§4.3一致有界原则 \color{blue}{\S 4.3 一致有界原则}
∙我们把线性算子抽象成为线性算子空间中的元素. \bullet 我们把{\color{red}{线性算子}}抽象成为线性算子空间中的{\color{red}{元素}}.
∙抽象使我们能更清楚地看到线性算子的一些本质特征. \bullet 抽象使我们能更清楚地看到线性算子的一些本质特征.
∙在赋范线性空间(线性算子空间)的框架下,研究线性运算的性质. \bullet 在赋范线性空间{\color{blue}{(线性算子空间)的框架下}}, 研究线性运算的性质.
将得到一些很深刻的结论,例如: 将得到一些很深刻的结论, 例如:
▶一致有界原则(定理4.3.7); \blacktriangleright {\color{brown}{一致有界原则}}(定理 4.3.7);
▶开映射定理(定理4.4.4),逆算子定理(定理4.4.5); \blacktriangleright {\color{brown}{开映射定理}}(定理 4.4.4), {\color{brown}{逆算子定理}}(定理 4.4.5);
▶闭图像定理(定理4.5.7). \blacktriangleright {\color{brown}{闭图像定理}}(定理 4.5.7).
∗这三个定理和Hahn−Banach定理5.1.1(线性泛函的 \ast {\color{blue}{这三个定理}}和{\color{blue}{Hahn-Banach 定理 5.1.1}}(线性泛函的
延拓定理)可以看作是赋范空间中线性算子理论的基石. 延拓定理)可以看作是赋范空间中线性算子理论的基石.
∙这三个定理刻画了Banach空间中线性算子的重要性质. \bullet {\color{red}{这三个定理}}刻画了 Banach 空间中线性算子的重要性质.
▶下面我们首先证明Baire纲定理, \blacktriangleright 下面我们首先证明{\color{blue}{Baire 纲定理}},
进而证明一致有界原则,逆算子定理和闭图像定理. 进而证明一致有界原则, 逆算子定理和闭图像定理.
4.3.1Baire纲定理 \color{blue}{4.3.1 Baire 纲定理}
定义4.3.1设(X,d)是距离空间,E⊂X.如果E 定义 4.3.1 设(X, d)是距离空间, E \subset X. 如果E
不在X的任何非空开集中稠密,则称E是疏集. {\color{red}{不在X的任何非空开集中稠密}}, 则称E是{\color{blue}{疏集}}.
稠密的定义:A,B是距离空间X中的点集,如果B ¯ ¯ ¯ ⊃A, 稠密的定义:A, B是距离空间X中的点集, 如果{\color{red}{\overline B \supset A}},
则称B在A中稠密. 则称 {\color{blue}{B 在 A 中稠密}}.
注1：疏集E中没有内点. 注1：{\color{green}{疏集 E 中没有内点}}.
事实上,若x∈E是内点,存在S(x,r)⊂E,则E在S(x,r)中稠密. 事实上, 若 x \in E 是内点, 存在 S(x, r) \subset E, 则 E 在 S(x, r)中稠密.
注2：Cantor集是疏集. 注2：{\color{red}{Cantor 集是疏集}}.
事实上，Cantor集没有内点. 事实上， Cantor集没有内点.
定义4.3.2若集合E可表示成至多可数可疏集的并,即 定义 4.3.2 若集合 E 可表示成至多可数可疏集的并, 即
E=⋃ n=1 ∞ E n , \qquad {\color{blue}{E = \bigcup \limits_{n=1}^{\infty} E_n}},
其中E n 是疏集(n=1,2,⋯), 其中 E_n 是疏集(n = 1, 2, \cdots),
则称E是第一纲集. 则称 E 是 {\color{red}{第一纲集}}.
不是第一纲集的集合称为第二纲集. 不是第一纲集的集合称为{\color{red}{第二纲集}}.
定理4.3.3(Baire纲定理)完备的距离空间是第二纲集. 定理 4.3.3 ({\color{blue}{Baire 纲定理}}) 完备的距离空间是第二纲集.
证明:反证法.假如不然,则 证明:{\color{green}{反证法}}. 假如不然, 则
X=⋃ n=1 ∞ E n , \qquad X = \bigcup \limits_{n=1}^{\infty} E_n,
其中E n (n=1,2,⋯)疏集. 其中 E_n (n = 1, 2, \cdots) 疏集.
于是 于是
(1)对于任何开球S,E 1 在S中不稠(E ¯ ¯ ¯ 1 ⊉S), (1) 对于任何开球S, {\color{blue}{E_1 在 S 中不稠}}({\color{red}{\overline E_1 \not \supseteq S}}),
即存在S中的点不在E ¯ ¯ ¯ 1 中(和E ¯ ¯ ¯ 1 有正距离). 即存在S中的点不在 \overline E_1 中({\color{red}{和\overline E_1 有正距离}}).
由于S是开球,所以存在一个闭球S ¯ ¯ 1 ⊆S,使得 由于S是开球,所以存在一个闭球 {\color{blue}{\overline S_1 \subseteq S}}, 使得
S ¯ ¯ 1 ⋂E 1 =∅且S ¯ ¯ 1 的半径小于1. \qquad {\color{blue}{\overline S_1 \bigcap E_1 = \emptyset 且 \overline S_1 的半径小于1}}.
(2)同样在S 1 中,E 2 在S 1 中不稠,存在S ¯ ¯ 2 ⊆S 1 ,使得 (2)同样在S_1中, {\color{blue}{E_2 在 S_1 中不稠}}, 存在{\color{green}{\overline S_2 \subseteq S_1}}, 使得
S ¯ ¯ 2 ⋂E 2 =∅且S ¯ ¯ 2 的半径小于12 . \qquad {\color{green}{\overline S_2 \bigcap E_2 = \emptyset 且 \overline S_2 的半径小于 \dfrac{1}{2} }}.
(3)一直做下去,我们得到闭球套 (3)一直做下去, 我们得到{\color{red}{闭球套}}
S ¯ ¯ 1 ⊃S ¯ ¯ 2 ⋯⊃S ¯ ¯ n ⊃⋯,且S ¯ ¯ n 的半径r n <12 n−1 . \overline S_1 \supset \overline S_2 \cdots \supset \overline S_n \supset \cdots, 且 \overline S_n 的半径 r_n
(4)因X完备,r n →0,由闭球套定理知存在唯一的点 (4) 因X完备, r_n \to 0, {\color{blue}{由闭球套定理}}知存在唯一的点
x 0 ∈X,x 0 ∈⋂ n=1 ∞ S ¯ ¯ n . \qquad x_0 \in X, x_0 \in \bigcap \limits_{n=1}^{\infty} \overline S_n.
但S ¯ ¯ n ⋂E n =∅,由于∀n,x 0 ∈S ¯ ¯ n ,所以x 0 ∈ ¯ ¯ E n , 但 \overline S_n \bigcap E_n = \emptyset, 由于 {\color{blue}{\forall n, x_0 \in \overline S_n}}, 所以 {\color{blue}{x_0 \overline \in E_n}},
这与X=⋃ k=1 ∞ E n 矛盾. 这与 X = \bigcup \limits_{k=1}^{\infty} E_n 矛盾.
所以X不是第一纲集,即X是第二纲集. 所以 X 不是第一纲集, 即 X 是第二纲集.
推论4.3.4Banach空间是第二纲集. 推论 4.3.4 {\color{red}{Banach 空间是第二纲集}}.
例4.3.5设E是定义在[0,1]上的全体处处不可微的连续函数组成的集合, 例 4.3.5 设 E 是定义在 [0, 1]上的全体处处不可微的连续函数组成的集合,
则E是非空的,且E的补集C[0,1]∖E是第一纲集. 则 E 是非空的,{\color{blue}{且E的补集C[0, 1] \setminus E 是第一纲集}}.
证明参阅张恭庆等《泛函分析讲义》(上册)p92.
注：定理表明: 注：定理表明:
∙点点都连续可微的函数在连续函数空间中仅仅是包含在第一纲集中, \bullet 点点都连续可微的函数在连续函数空间中{\color{blue}{仅仅是包含在第一纲集中}},
或者是说“相对比较少”. 或者是说{\color{red}{“相对比较少”}}.
∙点点连续、点点不可微的函数是非常之多的,这与我们的直观感觉并不相同. \bullet {\color{blue}{点点连续、点点不可微的函数是非常之多的}}, 这与我们的直观感觉并不相同.
∙举出点点连续、点点不可微函数的例子并不是容易的. \bullet 举出点点连续、点点不可微函数的例子并不是容易的.
第一个这样的例子是由Weierstrass建立的. {\color{red}{第一个这样的例子是由 Weierstrass 建立的}}.
例4.3.6下面由级数定义的函数给出了一个这样的例子 例 4.3.6 下面由级数定义的函数给出了一个这样的例子
f(x)=∑ n=0 ∞ a n cos(b n πx),(4.3.1) \qquad f(x) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} a^n \cos (b^n \pi x), \quad (4.3.1)
其中0<a<1,而b是奇数,且ab>1+32 π. 其中 0 1 + \dfrac{3}{2} \pi.
∙由于此函数项级数各项连续且一致收敛,故和函数连续. \bullet 由于此函数项级数{\color{blue}{各项连续}}且{\color{blue}{一致收敛}},故{\color{red}{和函数连续}}.
∙进一步可证明f(x)在每一点均不可微. \bullet 进一步可证明 f(x) 在 {\color{red}{每一点均不可微}}.
证明可参与汪林编《实分析中的反例》p.88 证明可参与汪林编《实分析中的反例》p.88
利用Baire纲定理还可以得到一些古典分析中相对较难证明的结果. 利用 Baire 纲定理还可以得到一些古典分析中相对较难证明的结果.
一致有界是十分重要的概念,对有界线性算子,可以得到: 一致有界是十分重要的概念, 对{\color{blue}{有界线性算子}}, 可以得到:
∙一族点点有界的有界线性算子必定一致有界. \bullet 一族{\color{red}{点点有界}}的有界线性算子必定{\color{red}{一致有界}}.
定理4.3.7(Banach−Steinhaus一致有界原则) 定理 4.3.7 (Banach - Steinhaus {\color{blue}{一致有界原则}})
设{T α |α∈I}是Banach空间X上到赋范空间X 1 设 \lbrace T_{\alpha} | \alpha \in I \rbrace 是 {\color{red}{Banach 空间 X 上}} 到赋范空间 X_1
中的有界线性算子族.如果对于∀x∈X,有 中的{\color{green}{有界线性算子族}}. 如果对于 \forall x \in X, 有
sup α ∥T α x∥<∞(4.3.2) \qquad \sup \limits_{\alpha} \Vert T_{\alpha} x \Vert
则{∥T α ∥|α∈I}是有界集. {\color{green}{则 \lbrace \Vert T_{\alpha} \Vert | \alpha \in I \rbrace 是有界集}}.
定理成立的前提条件: 定理成立的前提条件:
(1)X是Banach空间, (1) {\color{brown}{X 是 Banach 空间}},
(2)T是线性的,是定义在X上的. (2) {\color{brown}{T 是线性的}}, 是定义{\color{blue}{在X上}}的.
注：定理表明,若对任意的x∈X,存在M x >0,使得 注：定理表明, 若对任意的x \in X, 存在 M_x > 0, 使得
∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=M x <∞(4.3.3) \qquad \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq \sup _{\alpha} \Vert T_{\alpha} x \Vert = M_x
则存在一个共同的M,使得 则{\color{green}{存在一个共同的M}}, 使得
∥T α ∥≤M,∀α∈I(4.3.4) \qquad {\color{blue}{\Vert T_{\alpha} \Vert \leq M, \forall \alpha \in I }}\quad (4.3.4)
∙简言之,点点有界⇒(范数)一致有界. \bullet 简言之, {\color{red}{点点有界 \Rightarrow (范数)一致有界}}.
▶定理的逆否命题是: \blacktriangleright 定理的逆否命题是:
命题4.3.8如果{T α |α∈I}是Banach空间X上到 命题 4.3.8 如果 \lbrace T_{\alpha}|\alpha \in I \rbrace 是 Banach 空间 X 上到
赋范空间X 1 中的有界线性算子族,sup α ∥T α ∥=∞, 赋范空间 X_1 中的有界线性算子族, \sup _{\alpha} \Vert T_{\alpha} \Vert = \infty,
则存在x∈X,使得 则存在 x \in X, 使得
sup α∈I ∥T α x∥=∞(4.3.5) \qquad \sup _{\alpha \in I} \Vert T_{\alpha} x \Vert = \infty \quad (4.3.5)
这个命题称为共鸣定理. 这个命题称为{\color{red}{共鸣定理}}.
证明思路: {\color{red}{证明思路}}:
目标:要证明的是集合{T α |α∈I}中线性算子的 目标: 要证明的是集合 \lbrace T_{\alpha} | \alpha \in I \rbrace 中线性算子的
范数有一个共同的上界(即一致有界). {\color{blue}{范数有一个共同的上界}}(即一致有界).
∙条件:sup α ∥T α x∥<∞, \bullet 条件:\sup_{\alpha} \Vert T_{\alpha} x \Vert
即对∀x∈X,∃M x >0,使得 即对 {\color{red} {\forall x \in X, \exists M_x > 0 }}, 使得
∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=Mx<∞(4.3.6) \qquad \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq \sup_{\alpha} \Vert T_{\alpha} x \Vert = Mx
∙要证明:存在一个共同的M,使得 \bullet 要证明: {\color{blue}{存在一个共同的 M}}, 使得
∥T α ∥≤M,∀α∈I(4.3.7) \qquad \Vert T_{\alpha} \Vert \leq M, \forall \alpha \in I \quad (4.3.7)
即对于∀x∈X,∀α∈I,都有∥T α x∥≤M∥x∥. 即对于{\color{red}{\forall x \in X, \forall \alpha \in I, 都有 \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq M \Vert x \Vert }}.
∙步骤: \bullet 步骤:
(1)首先证明{∥T α ∥|α∈I}在以原点为中心的一个小的闭球上一致有界. (1)首先证明\lbrace \Vert T_{\alpha} \Vert | \alpha \in I \rbrace 在{\color{red}{以原点为中心的一个小的闭球上一致有界}}.
即存在r>0,使得 即存在 r > 0, 使得
∥T α x∥≤M<∞,∀x∈B(0,r) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ,∀α∈I. \qquad \Vert T_{\alpha}x \Vert \leq M
(2)根据算子的线性性, (2) {\color{blue}{根据算子的线性性}},
对∀x∈X,∀α∈I,由∥T α (rx∥x∥ )∥≤M,推出 对 \forall x \in X, \forall \alpha \in I, 由 {\color{blue}{\Vert T_{\alpha}(\dfrac{rx}{\Vert x \Vert}) \Vert \leq M}}, 推出
∥T α x∥≤Mr −1 ∥x∥, \qquad \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq M r^{-1} \Vert x \Vert,
即在全空间上一致有界. 即在{\color{red}{全空间上一致有界}}.
∗下面我们分3步来说明步骤(1). \ast 下面我们分3步来说明步骤(1).
我们考虑集合 我们考虑集合
M k ={x|∥T α x∥≤k,∀α∈I}(k=1,2,⋯) M_k = \lbrace x | \Vert T_{\alpha}x \Vert \leq k, \forall \alpha \in I \rbrace (k = 1, 2, \cdots)
M k ={x∈X|sup α∈I ∥T α x∥≤k} \qquad M_k = \lbrace x \in X | \sup \limits_{\alpha \in I} \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq k \rbrace
=⋂ α∈I {x∈X|∥T α x∥<k}, \qquad = \bigcap \limits_{\alpha \in I} \lbrace x \in X | \Vert T_{\alpha}x \Vert
{T α }在集合M k 上一致有界,界是k. {\color{blue}{\lbrace T_{\alpha} \rbrace 在集合M_k 上一致有界}}, 界是k.
由条件:对∀x∈X,∃M x >0,使得 由条件:对 \forall x \in X, \exists M_x > 0, 使得
∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=M x <∞, \qquad \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq \sup \limits_{\alpha} \Vert T_{\alpha} x \Vert = M_x
即∀x∈X,x必定属于某一个M k ,于是我们有 即{\color{blue}{\forall x \in X, x 必定属于某一个M_k}}, 于是我们有
X=⋃ k=1 ∞ M k . \qquad X = \bigcup \limits_{k=1}^{\infty} M_k.
由于X是Banach空间,是第二纲集,所以存在一个M k 0 不是疏集, 由于 X 是 Banach 空间, 是第二纲集, 所以{\color{blue}{存在一个M_{k_0}不是疏集}},
即它在某一个非空开集G中稠密,G⊂M ¯ ¯ ¯ ¯ k 0 . 即它{\color{red}{在某一个非空开集G中稠密}}, {\color{blue}{G \subset \overline M_{k_0} }}.
▶随之在一个较小的闭球B ¯ ¯ ¯ 中稠,B ¯ ¯ ¯ ⊂M ¯ ¯ ¯ ¯ k 0 \blacktriangleright 随之在一个较小的闭球 \overline B 中稠, {\color{red}{\overline B \subset \overline M_{k_0} }}
注意到范数是连续函数,M ¯ ¯ ¯ ¯ k 0 是闭集,我们有 注意到范数是连续函数, \overline M_{k_0} 是闭集, 我们有
B ¯ ¯ ¯ ⊂M ¯ ¯ ¯ ¯ k 0 =M k 0 , \qquad \overline B \subset \overline M_{k_0} = M_{k_0},
即在这个闭球中{T α }一致有界,界是k 0 . 即{\color{red}{在这个闭球中}}{\color{blue}{\lbrace T_{\alpha} \rbrace 一致有界, 界是k_0}}.
▶把它“平移”成为以原点为中心的闭球,由T的线性性质, \blacktriangleright 把它{\color{green}{“平移”成为以原点为中心的闭球}}, 由T的线性性质,
使之在这个以原点为中心的闭球上一致有界. 使之{\color{red}{在这个以原点为中心的闭球上一致有界}}.
证明(1)证明{∥T α ∥|α∈I}在以原点为中心的一个小的闭球上一致有界. 证明(1){\color{blue}{证明\lbrace \Vert T_{\alpha} \Vert | \alpha \in I \rbrace 在以原点为中心的一个小的闭球上一致有界}}.
(i)对于k∈N + ,令 (i)对于 k \in \mathbb{N}^{+}, 令
M k ={x∈X|sup α∈I ∥T α x∥≤k}=⋂ α∈I {x∈X|∥T α x∥≤k}, M_k = \lbrace x \in X | \sup \limits_{\alpha \in I} \Vert T_{\alpha}x \Vert \leq k\rbrace = \bigcap \limits_{\alpha \in I} \lbrace x \in X | \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq k \rbrace,
由条件:对于∀x∈X, 由条件: 对于 \forall x \in X,
∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=M x <∞, \qquad {\color{blue}{\Vert T_{\alpha} x \Vert \leq \sup \limits_{\alpha} \Vert T_{\alpha} x \Vert = M_x
即∀x∈X,x必定属于某一个M k ,于是我们有 即 \forall x \in X, x 必定属于某一个 M_k, 于是我们有
X=⋃ k=1 ∞ M k \qquad X = \bigcup \limits_{k=1}^{\infty} M_k
因X是Banach空间,故X是第二纲集. 因 X 是 Banach 空间, 故 {\color{blue}{X 是第二纲集}}.
因此,必存在k 0 ,使得M k 0 不是疏集. 因此, {\color{blue}{必存在 k_0, 使得 M_{k_0} 不是疏集}}.
即M k 0 在X的某非空开集G中稠密,即G⊂M ¯ ¯ ¯ ¯ k 0 . 即{\color{green}{M_{k_0} 在 X 的某非空开集G中稠密}}, 即{\color{red}{G \subset \overline M_{k_0}}}.
(ii)由于G是开的,对于x 0 ∈G,存在一个闭球 (ii)由于G是开的, 对于 x_0 \in G, 存在一个闭球
B ¯ ¯ ¯ ={x∈X|∥x−x 0 ∥≤r}⊂G, \qquad {\color{blue}{\overline B = \lbrace x \in X | \Vert x - x_0 \Vert \leq r \rbrace \subset G}},
于是M k 0 在闭球B ¯ ¯ ¯ 中稠密, 于是 M_{k_0} 在闭球 \overline B 中稠密,
B ¯ ¯ ¯ ={x∈X|∥x−x 0 ∥≤r}⊂G⊂M ¯ ¯ ¯ ¯ k 0 . \qquad \overline B = \lbrace x \in X | \Vert x - x_0 \Vert \leq r \rbrace \subset G \subset \overline M_{k_0}.
注意到∥T α x∥是关于x的连续函数,因此对∀α∈I, 注意到{\color{green}{\Vert T_{\alpha} x \Vert 是关于 x 的连续函数}}, 因此对 \forall \alpha \in I,
{x∈X|∥T α x∥≤k} \qquad \lbrace x \in X | \Vert T_{\alpha}x \Vert \leq k \rbrace
是闭集,于是M k =⋂ α∈I {x∈X|∥T α x∥≤k}是闭集. 是闭集, 于是 M_k = \bigcap \limits_{\alpha \in I} \lbrace x \in X | \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq k \rbrace 是闭集.
所以B ¯ ¯ ¯ ⊂M ¯ ¯ ¯ ¯ k 0 =M k 0 ={x∈X|sup α∈I ∥T α x∥≤k 0 }. 所以{\color{blue}{ \overline B \subset \overline M_{k_0} = M_{k_0} = \lbrace x \in X | \sup \limits_{\alpha \in I} \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq k_0 \rbrace }}.
即:对于∀x∈B ¯ ¯ ¯ ,∀α∈I,都有∥T α x∥≤k 0 , 即: {\color{red}{对于 \forall x \in \overline B, \forall \alpha \in I, 都有 \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq k_0 }},
这说明{T α }在闭球B ¯ ¯ ¯ 上是一致有界的. 这说明{\color{red}{\lbrace T_{\alpha} \rbrace }}{\color{green}{在闭球\overline B 上是一致有界的}}.
(iii)进一步证明{∥T α ∥|α∈I}在以原点为中心的闭球B ¯ ¯ ¯ 0 ={x∈X|∥x∥≤r}上一致有界. (iii){\color{brown}{进一步证明 \lbrace \Vert T_{\alpha} \Vert | \alpha \in I \rbrace 在以原点为中心的闭球 \\ \overline B_0 = \lbrace x \in X | \Vert x \Vert \leq r \rbrace 上一致有界}}.
对于任意的x∈B ¯ ¯ ¯ 0 ={x∈X|∥x∥≤r}, 对于任意的 x \in \overline B_0 = \lbrace x \in X | \Vert x \Vert \leq r \rbrace,
我们有x+x 0 ∈B ¯ ¯ ¯ ={x∈X|∥x−x 0 ∥≤r},于是 我们有{\color{blue}{ x + x_0 \in \overline B }} = \lbrace x \in X | \Vert x - x_0 \Vert \leq r \rbrace, 于是
∥T α x∥≤∥T α (x+x 0 )∥+∥T α x 0 ∥≤2k 0 ,∀α∈I. \Vert T_{\alpha} x \Vert \leq \Vert T_{\alpha}(x + x_0) \Vert + \Vert T_{\alpha} x_0 \Vert \leq 2k_0, \forall \alpha \in I.
(2)根据算子的线性性,证明{T α }在全空间上一致有界. (2) {\color{blue}{根据算子的线性性, 证明\lbrace T_{\alpha} \rbrace 在全空间上一致有界}}.
对∀x∈X,因rx∥x∥ ∈B ¯ ¯ ¯ 0 ,故∥T α rx∥x∥ ∥≤2k 0 .于是 对 \forall x \in X, 因 {\color{red}{r \dfrac{x}{\Vert x \Vert} \in \overline B_0}}, 故\Vert T_{\alpha} \dfrac{rx}{\Vert x \Vert} \Vert \leq 2k_0. 于是
∥T α x∥≤2k 0 ∥x∥/r. \qquad {\color{blue}{\Vert T_{\alpha} x \Vert \leq 2k_0 \Vert x \Vert / r}}.
因此 因此
∥T α ∥≤2r k 0 =M,∀α∈I, \qquad \Vert T_{\alpha} \Vert \leq \dfrac{2}{r} k_0 = M, \forall \alpha \in I,
即sup α ∥T α ∥≤M<∞. 即\sup \limits_{\alpha} \Vert T_{\alpha} \Vert \leq M
注1：定理中的条件，X是Banach空间，仅仅用到推出X是第二纲集. 注1：定理中的条件，X是 Banach 空间，{\color{blue}{仅仅用到}}推出X是第二纲集.
∙即定理的条件可以减弱为X是第二纲集. \bullet 即{\color{red}{定理的条件可以减弱为X是第二纲集}}.
注2：算子的线性性质在这里很重要,如果没有线性性质, 注2：算子的{\color{blue}{线性性质在这里很重要}}, 如果没有线性性质,
结论会在很多程度上减弱(参阅第四章习题30). 结论会在很多程度上减弱(参阅第四章习题30).
习题30表明F是完备距离空间X上的实连续函数族, 习题30 表明 \mathscr{F}是完备距离空间X上的实连续函数族,
且对∀x∈X,存在M x >0,使得对于每一个f∈F, 且对 \forall x \in X, 存在 M_x > 0, 使得对于每一个 f \in \mathscr{F},
|f(x)|≤M x , \qquad |f(x)| \leq M_x,
则存在开集U及M>0,使得对∀x∈U,f∈F有 则{\color{green}{存在开集U及M > 0}}, 使得对 \forall x \in U, f \in \mathscr{F}有
|f(x)|≤M, \qquad {\color{blue}{|f(x)| \leq M}},
即在U上,f(x)一致有界. {\color{red}{即在U上, f(x)一致有界}}.
命题4.3.9X是Banach空间,若f α (α∈I)是定义在X上的有界线性泛函, 命题 4.3.9 X 是 Banach 空间, {\color{blue}{若 f_{\alpha}(\alpha \in I) 是定义在X上的有界线性泛函}},
如果对于每一个x∈X, 如果对于每一个 x \in X,
sup α∈I |f α (x)|<∞, \qquad \sup \limits_{\alpha \in I} |f_{\alpha}(x)|
则{∥f α ∥|α∈I}是有界集. 则\lbrace \Vert f_{\alpha} \Vert | \alpha \in I \rbrace 是{\color{red}{有界集}}.
命题4.3.10当I是一个可数集时,X是一个Banach 命题 4.3.10 {\color{blue}{当I是一个可数集时}}, X 是一个 Banach
空间,{f n }是定义在X上的有界线性泛函,如果对于 空间, \lbrace f_n \rbrace 是定义在X上的有界线性泛函, 如果对于
∀x∈X,有 \forall x \in X, 有
sup n |f n (x)|<∞, \qquad \sup \limits_{n} |f_n(x)|
则 则
sup n ∥f n ∥<∞. \qquad \sup \limits_{n} \Vert f_n \Vert
命题4.3.11当I是一个可数集时, 命题 4.3.11 当 I 是一个可数集时,
若X是一个Banach空间,{f n }是定义在X上的有界线性泛函,sup n ∥f n ∥=∞. {\color{blue}{若X是一个Banach 空间, \lbrace f_n \rbrace 是定义在X上的有界线性泛函, \sup \limits_{n} \Vert f_n \Vert = \infty}}.
则存在x 0 ∈X,使得 则存在 x_0 \in X, 使得
sup n |f n (x 0 )|=∞. \qquad \sup \limits_{n} | f_n(x_0)| = \infty.
∙这是一致有界原则的逆否命题. \bullet 这是一致有界原则的逆否命题.
注：一致有界原则也可以由本章第四节关于范数等价的定理4.4.6推出. 注：一致有界原则也可以由本章第四节关于 {\color{blue}{范数等价}}的定理 4.4.6推出.
从定理4.2.5我们知道,如果X是赋范空间,X 1 是Banach空间, 从定理 4.2.5 我们知道, 如果X是赋范空间, {\color{blue}{X_1是Banach空间}},
则B(X,X 1 )是Banach空间. 则\mathscr{B}(X, X_1)是Banach空间.
即空间中的任何Cauchy列都收敛(按算子的范数). 即空间中的任何 {\color{blue}{Cauchy 列都收敛(按算子的范数)}}.
下面我们考虑在强收敛意义下的完备性. 下面我们考虑在{\color{green}{强收敛意义下的完备性}}.
定理4.3.12设X,X 1 是Banach空间,则B(X,X 1 )在强收敛的意义下完备. 定理 4.3.12 设 {\color{red}{X, X_1 是 Banach 空间}}, {\color{blue}{则\mathscr{B}(X, X_1)在强收敛的意义下完备}}.
注:完备的含义: 注:{\color{red}{完备的含义}}:
(1)T n ∈B(X,X 1 ), (1)T_n \in \mathscr{B}(X, X_1),
(2)若∀x∈X,{T n x}是X 1 中的Cauchy列, (2)若 \forall x \in X, \lbrace T_n x \rbrace 是X_1中的 Cauchy 列,
则存在T∈B(X,X 1 ),T n → 强 T(n→∞), 则存在{\color{blue}{T \in \mathscr{B}(X, X_1), T_n \stackrel{强}{\to} T(n \to \infty)}},
即∀x∈X,T n x→Tx(n→∞). 即{\color{red}{\forall x \in X, T_n x \to Tx (n \to \infty)}}.
证明:设T n ∈B(X,X 1 ),且∀x∈X,{T n x}是X 1 中 证明: 设 T_n \in \mathscr{B}(X, X_1), 且 \forall x \in X, \lbrace T_n x \rbrace 是 X_1 中
的Cauchy列. 的 Cauchy 列.
(i)构造(定义)一个线性算子T. (i) 构造(定义)一个线性算子 T.
因X 1 完备,{T n x}是Cauchy列,故存在z∈X,使 {\color{blue}{因 X_1 完备}}, \lbrace T_n x \rbrace 是 Cauchy 列, 故存在 z \in X, 使
得T n x→z,定义Tx=z(且T n x→z=Tx(n→∞)). 得 T_n x \to z, {\color{blue}{定义 Tx = z}} (且 T_n x \to z = Tx (n \to \infty)).
(ii)显然T使线性的.要证明T∈B(X,X 1 ). (ii)显然T使线性的. 要证明 T \in \mathscr{B}(X, X_1).
由于收敛的点列有界,对于∀x∈X,我们有 {\color{blue}{由于收敛的点列有界}}, 对于 \forall x \in X, 我们有
sup n ∥T n x∥<∞. \qquad \sup \limits_{n} \Vert T_n x \Vert
因X完备,由一致有界原则,{∥T n ∥}有界,所以 因 X 完备, 由{\color{blue}{一致有界原则}}, {\color{red}{\lbrace \Vert T_n \Vert \rbrace 有界}}, 所以
∥Tx∥=∥lim n→∞ T n x∥=lim n→∞ ∥T n x∥≤lim − − − n→∞ ∥T n ∥∥x∥, \Vert Tx \Vert = \Vert \lim \limits_{n \to \infty} T_n x \Vert = \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T_n x \Vert \leq \underline{\lim} _{n \to \infty} \Vert T_n \Vert \Vert x \Vert,
于是T是有界线性算子,且∥T∥≤lim − − − n→∞ ∥T n ∥. 于是 T 是有界线性算子, 且 \Vert T \Vert \leq \underline{\lim} _{n \to \infty} \Vert T_n \Vert.
即:T∈B(X,X 1 ),T n → 强 T(n→∞). 即: {\color{red}{T \in \mathscr{B}(X, X_1), T_n \stackrel{强}{\to} T(n \to \infty)}}.
注1：注意定理的前提条件: 注1：注意定理的前提条件:
X是Banach空间,X 1 也是Banach空间. {\color{blue}{X 是 Banach 空间, X_1 也是 Banach 空间}}.
注2：由定理可知,当X,X 1 是Banach空间时,由 注2：由定理可知, 当X, X_1是Banach空间时,由
(1)T n ∈B(X,X 1 ), (1) T_n \in \mathscr{B}(X, X_1),
(2)∀x∈X,{T n x}是X 1 中的Cauchy列, (2) {\color{red}{\forall x \in X}}, \lbrace T_n x \rbrace 是X_1 中的 Cauchy 列,
则{∥T n ∥}一致有界的条件可以从X是Banach空间和上面的条件(2)中推出. 则{\color{green}{\lbrace \Vert T_n \Vert \rbrace 一致有界的条件可以从X是Banach空间和上面的条件(2)中推出}}.
注3：在上述条件中,条件(1)加强,条件(2)减弱, 注3：在上述条件中, {\color{red}{条件(1)加强}}, {\color{blue}{条件(2)减弱}},
X只要求是赋范空间,我们也由相同的结论. {\color{brown}{X只要求是赋范空间}}, 我们也由相同的结论.
定理4.3.13设{T n }是赋范空间X到Banach空间 定理 4.3. 13 设 \lbrace T_n \rbrace 是{\color{blue}{赋范空间X}}到 Banach 空间
X 1 中的有界线性算子列,如果 X_1 中的有界线性算子列, 如果
(i){∥T n ∥}有界; (i) \lbrace \Vert T_n \Vert \rbrace 有界;
(ii)G是X的稠子集,且对∀y∈G,{T n y}收敛; (ii) G 是X 的稠子集, 且对 \forall y \in G, \lbrace T_n y \rbrace 收敛;
则存在有界线性算子T(T∈B(X,X 1 )),使得 则存在{\color{red}{有界线性算子T}}(T \in \mathscr{B}(X, X_1)), 使得
T n → 强 T(n→∞),且∥T∥≤lim − − − n→∞ ∥T n ∥(4.3.8) \qquad T_n \stackrel{强}{\to} T(n \to \infty), 且 \Vert T \Vert \leq \underline \lim _{n \to \infty} \Vert T_n \Vert \quad (4.3.8)
证明:(1)构造这样的线性算子T(给出Tx=?的定义). 证明:(1) {\color{brown}{构造这样的线性算子T}}(给出 Tx = ? 的定义).
(i)由于G在X中稠密,对∀x∈X,存在y∈G,使得 (i){\color{blue}{由于 G 在 X 中稠密}}, 对 \forall x \in X, 存在 y \in G, 使得
∥x−y∥<ε. \qquad \Vert x - y \Vert
(ii)由已知：对任意的y∈G,{T n y}收敛,因此{T n y} (ii)由已知：{\color{blue}{对任意的 y \in G, \lbrace T_n y \rbrace 收敛}}, 因此 \lbrace T_n y \rbrace
是一个Cauchy列. 是一个 Cauchy 列.
(iii)结合已知{∥T n ∥}有界,得到: (iii){\color{blue}{结合已知 \lbrace \Vert T_n \Vert \rbrace 有界}}, 得到:
∥T n x−T m x∥≤∥T n x−T n y∥+∥T n y−T m y∥+∥T m y−T m x∥ \Vert T_n x - T_m x \Vert \leq \Vert T_n x - T_n y \Vert + \Vert T_n y - T_m y \Vert + \Vert T_m y - T_m x \Vert
≤∥T n ∥∥x−y∥+∥T n y−T m y∥+∥T m ∥∥x−y∥, \qquad \leq \Vert T_n \Vert \Vert x-y \Vert + \Vert T_n y - T_m y \Vert + \Vert T_m \Vert \Vert x-y \Vert,
则∥T n x−T m x∥→0(当m,n→∞). 则 \Vert T_n x - T_m x \Vert \to 0 (当m, n \to \infty).
即{T n x}是一个Cauchy列. 即 {\color{red}{\lbrace T_n x \rbrace 是一个 Cauchy 列 }}.
由于X 1 是Banach空间.于是存在z,使得 {\color{blue}{由于 X_1 是 Banach 空间}}. 于是存在 z, 使得
∥T n x−z∥→0(n→∞) \qquad \Vert T_n x - z \Vert \to 0 (n \to \infty)
令Tx=z,即Tx=z=lim n→∞ T n x 令 Tx = z, 即 Tx = z = \lim \limits_{n \to \infty} T_n x
显然T是线性的. 显然 T 是线性的.
(2)证明算子T有界. (2) {\color{brown}{证明算子T有界}}.
∥Tx∥=∥lim n→∞ T n x∥=lim n→∞ ∥T n x∥≤lim − − − n→∞ ∥T n ∥∥x∥, \Vert Tx \Vert = \Vert \lim \limits_{n \to \infty} T_n x \Vert = {\color{blue}{ \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T_n x \Vert }} \leq \underline{\lim} _{n \to \infty} \Vert T_n \Vert \Vert x \Vert,
于是T是有界线性算子,且∥T∥≤lim − − − n→∞ ∥T n ∥. 于是 T 是有界线性算子, 且 \Vert T \Vert \leq \underline{\lim} _{n \to \infty} \Vert T_n \Vert.
即:T∈B(X,X 1 ),T n → 强 T(n→∞) 即:{\color{red}{ T \in \mathscr{B}(X, X_1), T_n \stackrel{强}{\to} T(n \to \infty) }}
注:当X,X 1 是Banach空间时,T n → 强 T(n→∞) 注:当 X, X_1 是 Banach 空间时, {\color{blue}{T_n \stackrel{强}{\to} T (n \to \infty)}}
的充要条件是 的{\color{blue}{充要条件}}是
(i){∥T n ∥}有界; (i) \lbrace \Vert T_n \Vert \rbrace 有界;
(ii)G是X中的稠子集,∀y∈G,{T n y}收敛. (ii) G 是 X 中的稠子集, \forall y \in G, \lbrace T_n y \rbrace 收敛.
例4.3.14(Fourier级数的发散) 例 4.3.14 ({\color{blue}{Fourier 级数的发散}})
由一致有界原理知道:若∥f n ∥→∞(n→∞), 由一致有界原理知道: 若{\color{red}{\Vert f_n \Vert \to \infty (n \to \infty)}},
则存在x 0 ,使得|f n (x 0 )|→∞(发散). 则存在 x_0, 使得 |f_n(x_0)| \to \infty (发散).
据此下面证明: 据此下面证明:
∙存在连续函数,在它的某一个连续点t 0 ,其Fourier级数是发散的. \bullet {\color{blue}{存在连续函数, 在它的某一个连续点 t_0, 其 Fourier 级数是发散的}}.
考虑:C 2π ={直线上以2π为周期的全体实值连续函数}. 考虑: C_{2\pi} = \lbrace 直线上以 2 \pi 为周期的全体实值连续函数 \rbrace.
在C 2π 上定义 在 C_{2 \pi} 上定义
∥x∥ ∞ =max −∞<t<∞ |x(t)|. \qquad \Vert x \Vert _{\infty} = \max \limits_{-\infty
可以证明(C 2π ,∥⋅∥)是一个Banach空间). 可以证明 {\color{blue}{(C_{2 \pi}, \Vert \cdot \Vert) 是一个 Banach 空间)}}.
对于任意的x(t)∈C 2π ,它的Fourier级数为 对于任意的 x(t) \in C_{2\pi}, 它的 Fourier 级数为
x(t)∼a 0 2 +∑ k=1 ∞ (a k coskt+b k sinkt)(4.3.9) \qquad x(t) \sim \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{\infty}(a_k \cos kt + b_k \sin kt) \quad (4.3.9)
其中 其中
a 0 2 =12π ∫ π −π f(x)dx, \dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx,
a k =1π ∫ π −π f(x)coskxdx,b k =1π ∫ π −π f(x)sinkxdt. a_k = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx, b_k = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin kx dt.
如果x(t)连续,且x ′ (t)连续,则它的Fourier级数收敛到x(t). 如果 x(t) 连续, 且 x^{\prime}(t) 连续, 则它的 {\color{blue}{Fourier 级数收敛到 x(t)}}.
∗现在的问题是： \ast {\color{red}{现在的问题是：}}
是否存在x(t)∈C 2π ,它的Fourier级数在某一点发散? {\color{blue}{是否存在x(t) \in C_{2\pi}, 它的 Fourier 级数在某一点发散?}}
即当n→∞时,它的Fourier级数前2n+1项的和在这点发散. 即当 n \to \infty 时, 它的 Fourier 级数前 2n + 1项的和在这点发散.
函数x(t)前2n+1项Fourier级数的和为 函数 x(t) 前 2n + 1 项 Fourier 级数的和为
a 0 2 +∑ k=1 n (a k coskt+b k sinkt) \qquad \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^n (a_k \cos kt + b_k \sin kt)
=∫ π −π x(s)[12π +1π ∑ k=1 n cosk(s−t)]ds \qquad = \int_{-\pi}^{\pi} x(s) [\dfrac{1}{2\pi} + \dfrac{1}{\pi} \sum \limits_{k=1}^n \cos k(s-t)] ds
=∫ π −π x(s)k n (s,t)ds. \qquad = \int_{-\pi}^{\pi} x(s) k_n(s, t) ds.
其中k n (s,t)=sin(n+12 )(s−t)2πsin12 (s−t) (4.3.10) 其中\quad k_n(s, t) = \dfrac{\sin(n + \dfrac{1}{2})(s-t)}{2 \pi \sin {\dfrac{1}{2}(s-t)}} \quad (4.3.10)
当t=t 0 给定时,x(t)前2n+1项的和在t 0 点的值 当 t = t_0 给定时, x(t) 前 2n + 1 项的和在 t_0 点的值
f n (x)=∫ π −π x(s)k n (s,t 0 )ds, \qquad f_n(x) = \int_{-\pi}^{\pi} x(s) k_n(s, t_0) ds,
是关于x(t)的线性泛函. 是{\color{blue}{关于 x(t) 的线性泛函}}.
要证明存在x(t),它的Fourier级数在某一点t 0 发散. 要证明{\color{blue}{存在x(t), 它的 Fourier 级数在某一点 t_0 发散}}.
不失一般性,我们证明对于t=0, 不失一般性, 我们证明对于 t = 0,
一定存在x(t),它的Fourier级数在t=0点发散. {\color{red}{一定存在 x(t), 它的 Fourier 级数在 t = 0 点发散}} .
当t=0时,由(4.3.10)式, 当 t = 0 时, 由 (4.3.10) 式,
k n (s,0)=sin(n+12 )(s)2πsin12 s =12π +1π ∑ k=1 n cosks. k_n(s, 0) = \dfrac{\sin(n + \dfrac{1}{2})(s)}{2 \pi \sin \dfrac{1}{2}s} = \dfrac{1}{2\pi} + \dfrac{1}{\pi} \sum \limits_{k=1}^n \cos ks.
(1)考虑C 2π 上的线性泛函. (1)考虑 C_{2\pi} 上的{\color{blue}{线性泛函}}.
f n (x)=∫ π −π x(s)k n (s,0)ds \qquad f_n(x) = \int_{-\pi}^{\pi} x(s) k_n(s, 0) ds
(2)它是C 2π 上的有界线性泛函,且可以证明 (2) 它是 C_{2\pi} 上的{\color{blue}{有界线性泛函}}, 且可以证明
∥f n ∥=∫ π −π |k n (s,0)|ds \qquad \Vert f_n \Vert = \int_{-\pi}^{\pi} |k_n(s, 0)| ds
(3)下面证明∥f n ∥→∞(n→∞). (3) 下面{\color{red}{证明\Vert f_n \Vert \to \infty (n \to \infty) }}.
∥f n ∥=∫ π −π |k n (s,0)|ds=∫ 2π 0 |k n (s,0)|ds(周期函数) \Vert f_n \Vert = \int_{-\pi}^{\pi} |k_n(s, 0)| ds = \int_{0}^{2\pi} |k_n(s, 0)| ds(周期函数)
=12π ∫ 2π 0 |sin(n+12 )s||sin12 s| ds(s=2t) \qquad = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \dfrac{|\sin(n + \frac{1}{2})s|}{|\sin \frac{1}{2} s|} ds ({\color{red}{s = 2t}})
=1π ∫ 2π 0 |sin(n+12 )2t||sint| dt(|sint|≤|t|) \qquad = \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \dfrac{|\sin(n + \frac{1}{2}) 2t|}{|\sin t|} dt ({\color{red}{|\sin t| \leq |t|}})
≥1π ∫ π 0 |sin(2n+1)t|t dt(u=(2n+1)t) \qquad \geq \dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \dfrac{|\sin(2n + 1) t|}{t} dt ({\color{blue}{u = (2n+1)t}})
=(1π ∫ (2n+1)π 0 sinuu2n+1 du)12n+1 \qquad = (\dfrac{1}{\pi} \int_0^{(2n+1)\pi} \dfrac{\sin u}{\frac{u}{2n+1}} du) \dfrac{1}{2n+1}
=1π ∫ (2n+1)π 0 |sinu|u du. \qquad = \dfrac{1}{\pi}\int_0^{(2n+1)\pi} \dfrac{|\sin u|}{u} du.
由数学分析知道,广义积分∫ ∞ 0 |sinu|u du=∞发散,从而我们得到: 由数学分析知道, {\color{blue}{广义积分 \int_0^{\infty} \dfrac{|\sin u|}{u} du = \infty 发散}}, 从而我们得到:
∥f n ∥=∫ π −π |k n (s,0)|ds \qquad \Vert f_n \Vert = \int_{-\pi}^{\pi} |k_n(s, 0)| ds
=1π ∫ (2n+1)π 0 |sinu|u du→∞(n→∞). \qquad = \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{(2n+1)\pi} \dfrac{|\sin u|}{u} du \to \infty(n \to \infty).
由共鸣定理,存在x 0 ∈C 2π ,{f n (x 0 )}发散,即 由{\color{red}{共鸣定理}}, 存在{\color{red}{x_0 \in C_{2\pi}, \lbrace f_n(x_0) \rbrace 发散}}, 即
存在连续函数x 0 (t),它在t=0点的Fourier级数发散. 存在连续函数 x_0(t), 它在 t = 0 点的 Fourier 级数发散.
注1：有界变差函数(两个单调函数之差)的Fourier级数处处收敛. 注1：{\color{blue}{有界变差函数(两个单调函数之差)的Fourier 级数处处收敛}}.
在连续点收敛到x(t)，在不连续点收敛到x(t+0)+x(t−0)2 . 在连续点收敛到 x(t)，在不连续点收敛到 \dfrac{x(t+0) + x(t-0)}{2}.
注2：但对一些连续函数,其Fourier级数可在一些点发散, 注2：{\color{blue}{但对一些连续函数, 其 Fourier 级数可在一些点发散}},
1876年,Paul.duBois−Reymond给出了否定回答.考虑三角多项式 1876年, Paul.du Bois-Reymond 给出了否定回答.考虑三角多项式
T n (x,n)=cosnxn +cos(n+1)xn−1 +⋯+cos(n+(n−1))x1 −cos(n+(n+1))x1 −⋯−cos(n+2n)xn T_n(x, n) = \dfrac{\cos nx}{n} + \dfrac{\cos(n+1)x}{n-1} + \cdots + \dfrac{\cos(n+(n-1))x}{1} - \dfrac{\cos(n+(n+1))x}{1} - \cdots - \dfrac{\cos(n+2n)x}{n}
=∑ k=1 n cos(2n−k)x−cos(2n+k)xk ={\color{blue}{\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{\cos(2n-k)x - \cos(2n+k)x}{k} }}
令 令
f(x)=∑ p=1 ∞ 1p 2 T(x,2 p 3 ). \qquad f(x) = \sum \limits_{p=1}^{\infty} \dfrac{1}{p^2} T(x, 2^{p^3}).
可以证明f(x)连续,f(x)的Fourier级数在0点发散. {\color{red}{可以证明 f(x) 连续, f(x) 的 Fourier 级数在 0 点发散.}}
这是1911年, Fe ´ jer F\acute{e}jer 提供的例子(参阅汪林：实分析中的反例, p.369).
注3：上面我们使用泛函分析的观点和方法,证明了 注3：上面我们使用泛函分析的观点和方法, 证明了
存在连续函数x 0 (t),它在指定点t=0的Fourier级数发散. {\color{red}{存在连续函数x_0(t), 它在指定点t=0的Fourier级数发散}}.
∙这种存在性证明,与构造一个反例相比较,方法更简单,结论更深刻. \bullet 这种存在性证明, 与构造一个反例相比较, {\color{blue}{方法更简单, 结论更深刻}}.
注4：1966年,瑞典数学家Carleson证明了:L 2 可积函 注4：1966年, 瑞典数学家 Carleson 证明了: L^2 可积函
数的Fourier级数处处收敛. 数的 Fourier级数处处收敛.
∙于是可知连续函数的Fourier级数几乎处处收敛. \bullet 于是可知{\color{blue}{连续函数的 Fourier 级数几乎处处收敛}}.
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