稳定渐进稳定，一致有界一致最终有界

第一组概念：稳定&渐进稳定

定义1(stable)：平衡点x=0x=0在t0t_0时刻是稳定的，如果对于任意ϵ>0\epsilon\gt0，存在一个常数δ(t0,ϵ)>0\delta(t_0,\epsilon)\gt0使得

∥x(t0)∥<δ(t0,ϵ)⇒∥x(t)∥<ϵ,∀t≥t0

\Vert x(t_0)\Vert\lt\delta(t_0,\epsilon)\Rightarrow\Vert x(t)\Vert\lt\epsilon,\forall t\ge t_0
这里， xx是系统的状态向量。如果δ(t0,ϵ)=δ(ϵ)\delta(t_0,\epsilon)=\delta(\epsilon)，即 δ\delta与初始时刻无关，那么就称该平衡点是一致稳定的。
定义2(asymptotically stable)：平衡点 x=0x=0在 t0t_0时刻是渐进稳定的，如果存在一个常数 δ>0\delta\gt0，使得

∥x(t0)∥<δ⇒∥x(t)∥→0,当t→∞

\Vert x(t_0)\Vert\lt\delta\Rightarrow\Vert x(t)\Vert\to0,当t\to \infty
说明：对于定义1， δ\delta的选取应该不大于给定的常数 ϵ\epsilon。 而在通常情况下，δ\delta往往远小于ϵ\epsilon。其实，稳定性的物理意义也就是说，系统有个初始状态 x(t0)x(t_0)，在某一输入的驱动下，系统从这一初始状态运动到末态 x(t)x(t)。现在，如果有扰动使系统的初始状态在 ∥x(t0)∥<δ\Vert x(t_0)\Vert\lt\delta的这一小范围内发生偏离，若系统的终态仍能回到给定的 ∥x(t)∥<ϵ\Vert x(t)\Vert\lt\epsilon 范围内，那么就说 x=0x=0这一点是稳定的。当然，初态能够偏离的范围 δ\delta的大小与你给定的末态偏离范围 ϵ\epsilon有关。渐进稳定首先是稳定的，并且当t趋于无穷时，若系统的初始状态在 ∥x(t0)∥<δ\Vert x(t_0)\Vert\lt\delta范围内，系统的终态都会回到零点。可见，渐进稳定比稳定对系统的要求要严格地多，前者要求系统的末态趋于一个点，而后者只需使末态在某个范围内；前者要求末态趋近的这一点必须是零点，后者只需使末态所在的范围是零点周围的一个区域。这就是stable与asymptotically stable的区别。

第二组概念：一致有界&最终一致有界

定义3(uniformly bounded)：描述系统的微分方程的解为xx,且x(t0)=x0x(t_0)=x_0，系统是一致有界的若对于某个δ>0\delta\gt0，存在一个正常数d(δ)<∞d(\delta)\lt \infty,使得对于所有的t>t0t\gt t_0，都有

∥x(t0)∥<δ⇒∥x(t)∥<d(δ)

\Vert x(t_0)\Vert\lt\delta\Rightarrow\Vert x(t)\Vert\lt d(\delta)这里， dd可能与δ\delta有关，但是与 t0t_0一定无关（一致性）
定义4(ultimately uniformly bounded)：描述系统的微分方程的解为 xx,且x(t0)=x0x(t_0)=x_0，系统是最终一致有界的若对于某个包含原点的集合 W⊂RnW\subset R^n，存在一个非负的常数 T(x0,W)<∞T(x_0,W)\lt\infty，使得对于所有 t≥t0+Tt\ge t_0+T，

∥x(t0)∥<δ⇒x(t)∈W

\Vert x(t_0)\Vert \lt\delta\Rightarrow x(t)\in W
成立。这里 WW可能与x0x_0有关，但一定与 t0t_0无关。

说明：定义4中的集合WW通常是用以原点为球心、ϵ\epsilon为半径的的一个超球(hyper-ball)来描述的，即W=B(0,ϵW=B(0,\epsilon)。如果ϵ≥d(δ)\epsilon\ge d(\delta)，UUB就退化成UB。虽然在定义4中没有明确指出，但是UUB主要是指ϵ\epsilon很小的情况，它代表了一种比UB要求更严格的稳定性。UUB的物理意义也就是说，系统从初态出发，经过一段时间，末态总能回到原点附近某个给定的球域内。

描述上述四中稳定性的二维图形(a,b,c,d从左至右，从上到下)分别如下所示：

两组概念有什么区别？

从图中可以发现，一致稳定与一致有界类似，而一致渐进稳定和一致最终有界类似。上述两组概念都能描述系统的稳定性，那么何时用第一组概念？何时用第二组概念？

注意，Lypunov稳定性都是针对平衡点定义的。定义1、2中首先就说了系统的平衡点是原点，然后才陈述在什么条件下这个平衡点是稳定的。也就是说，用Lypunov理论讨论系统的稳定性时，实质讨论的是关于这一平衡点的稳定性，如果系统在这一平衡点处受到扰动，但仍能回复到指定的范围内，那么系统关于这一平衡点就是稳定的。

但是，对于一些包含未知扰动量的不确定系统，也就是在鲁棒控制(robust control)中讨论的一些系统，系统的平衡点是无法确定的，因此第一组中针对平衡点的定义对这些不确定系统(uncertain system)就变得毫无意义。因为系统在不确定量的扰动下，可能根本就没有平衡点。所以对这一类uncertain system稳定性的分析，就可以通过微分方程的解与原点的接近程度来描述。这样，就引出了第二组概念UB和UUB。也就是说，第二组概念是专门用来分析不确定系统的稳定性的。

总结

稳定和渐进稳定是描述具有平衡点的确定系统的稳定性的，讨论的是系统受到扰动后回复到平衡点的能力
UB和UUB是描述鲁棒控制中不确定系统的稳定性的，讨论的是微分方程的解与原点的接近程度
渐进稳定要求系统的末态趋于零点，稳定只需使末态保持在某个范围内，且该范围远大于初态所约束的范围
UUB要求系统末态所在的超球半径远小于初态所在的超球半径，即UUB是比UB要求更严格的一种稳定性。
在实际中，UUB是不确定系统所能达到的最好的稳定性。

上述纯属个人理解，如有错误，非常欢迎大家指出，共同进步！