有界线性算子与泛函、例题

有界线性算子与算子空间

有界线性算子

分析：

• 算子：就是映射
• 线性算子：T(αx+βy)=αTx+βTyT(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T yT(αx+βy)=αTx+βTy
• 存在常数C>0C>0C>0，对任意x∈Xx\in Xx∈X，有∣∣Tx∣∣≤C∣∣x∣∣||Tx||\le C||x||∣∣Tx∣∣≤C∣∣x∣∣

定理：有限维赋范空间X上的任一线性算子T都是有界的

上面的证明有一丝说不过去：

• 最后一步≤\le≤怎么过来的？
• 需要进一步了解，阅读专业泛函资料

算子空间B(X,Y)

值得注意的是：

• 算子空间是关于算子的集合
• ∣∣T∣∣||T||∣∣T∣∣是最小上界supsupsup
• 这个最小+上界我们将在下面的例题中感受到

||T||满足范数三条：B(X,Y)关于||T||构成赋泛空间

如上：

• 因为满足三条
• 所以是范数，所以构成赋泛空间

例题：求||T||

如上，两部分：

• 证明 ∣∣T∣∣≤e||T||\le e∣∣T∣∣≤e
• 证明 ∣∣T∣∣≥e||T||\ge e∣∣T∣∣≥e
• 所以有 ∣∣T∣∣=e||T|| = e∣∣T∣∣=e

思路：

• 线性T(αx+βy)=αTx+βTyT(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T yT(αx+βy)=αTx+βTy -> 有界∣∣Tx∣∣||Tx||∣∣Tx∣∣与∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣的关系 -> TTT有界线性
  • 其中，要利用TTT与∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣在本题目中的具体定义（如何算的）
• xxx是一个关于ttt的函数，另x1≡1x1\equiv 1x1≡1（恒等于1）
  • 可得此使的 ∣∣Tx∣∣=e||Tx||=e∣∣Tx∣∣=e
  • 而带入∣∣Tx∣∣∣∣x∣∣\frac{||Tx||}{||x||}∣∣x∣∣∣∣Tx∣∣​的式子，得到值为eee
  • 这说明sup...sup...sup...一定大于等于eee，即∣∣T∣∣≥e||T||\ge e∣∣T∣∣≥e
  • 为什么？因为supsupsup是最小上界，在xxx为某一值A时，supsupsup为某一值B，则说明supsupsup最小为B，否则就不是所有xxx对应的最小上界了

例题

例题1：证明线性赋泛空间中成立某一关系

∣∣∣x∣∣−∣∣y∣∣∣≤∣∣x−y∣∣|||x||-||y||| \le ||x-y||∣∣∣x∣∣−∣∣y∣∣∣≤∣∣x−y∣∣

分析：

• 既然要证明绝对值，那就把绝对值打开，正负都证一遍
• 如何才能把构造多个范数的关系？使用性质(3)，则有∣∣x∣∣=∣∣x−y+y∣∣≤∣∣x−y∣∣+∣∣y∣∣||x|| = ||x-y+y||\le ||x-y|| + ||y||∣∣x∣∣=∣∣x−y+y∣∣≤∣∣x−y∣∣+∣∣y∣∣

例题2：证明是线性算子

分析：

• 是线性算子，则证明T(αx+βy)=αTx+βTyT(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T yT(αx+βy)=αTx+βTy即可

例题3：是子空间

分析：

• 是子空间，即对加法和数乘封闭

例题4：证明线性无关组

分析：

• 如果想证明A,...,Z{A,...,Z}A,...,Z是线性无关组，构造k1A+...+knZ=0k_1A+...+k_n Z = 0k1​A+...+kn​Z=0，证明其中必有k1=...=kn=0k_1=...=k_n=0k1​=...=kn​=0即可
• 利用了TTT是线性，可以提出来的性质
• 又利用了T−1T^{-1}T−1存在的性质

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