3.14 商空间

定义 1. 商集：集合 SSS 的一个划分，也称为 SSS 的一个 商集。

例 1：{0ˉ,1ˉ,⋯,6ˉ}\{\bar{0},\bar{1},\cdots,\bar{6} \}{0ˉ,1ˉ,⋯,6ˉ} 是整数集 Z\mathbb{Z}Z 的一个划分，记作 Z/(7)\mathbb{Z}/_{(7)}Z/(7)。

例 2：几何空间 = {以原点 OOO 为起点的所有向量}，考虑几何空间中一组相互平行的平面。

\quad显然，几何空间中的平行面，给出了几何空间的一个划分。

\quad设 π0\pi_{0}π0 是几何空间中过原点 OOO 的一个平面，π1\pi_{1}π1 是平行于 π0\pi_{0}π0、且不经过原点的一个平面。显然：

γ1,γ2∈π1,γ2−γ1=η∈π0.\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2} \in \pi_{1},\quad \boldsymbol{\gamma}_{2} - \boldsymbol{\gamma}_{1} = \boldsymbol{\eta} \in \pi_{0}. γ1,γ2∈π1,γ2−γ1=η∈π0.

由平行四边形法则：

γ1,γ2∈π1⟺γ2−γ1=η∈π0.\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2} \in \pi_{1} \Longleftrightarrow \boldsymbol{\gamma}_{2} - \boldsymbol{\gamma}_{1} = \boldsymbol{\eta} \in \pi_{0}. γ1,γ2∈π1⟺γ2−γ1=η∈π0.

定义 2. 陪集：设 VVV 是数域 KKK 上的一个线性空间，WWW 是 VVV 的一个子空间。记

β∼α:=β−α∈W,α,β∈V.\boldsymbol{\beta} \sim \boldsymbol{\alpha}:= \boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\alpha} \in W,\quad \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in V. β∼α:=β−α∈W,α,β∈V.

易证：

（1）反身性：

α−α=0∈W⟹α∼α;\boldsymbol{\alpha} -\boldsymbol{\alpha} = 0 \in W \Longrightarrow \boldsymbol{\alpha} \sim \boldsymbol{\alpha}; α−α=0∈W⟹α∼α;

（2）对称性：

β∼α⟹β−α∈W⟹−(β−α)∈W⟹α∼β;\boldsymbol{\beta} \sim \boldsymbol{\alpha} \Longrightarrow \boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\alpha} \in W \Longrightarrow -(\boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\alpha}) \in W \Longrightarrow \boldsymbol{\alpha} \sim \boldsymbol{\beta}; β∼α⟹β−α∈W⟹−(β−α)∈W⟹α∼β;

（3）传递性：

β∼α,α∼γ⟹β−α∈W,α−γ∈W⟹(β−α)+(α−γ)∈W⟹β−γ∈W⟹β∼γ.\begin{aligned} \boldsymbol{\beta} \sim \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha} \sim \boldsymbol{\gamma} &\Longrightarrow \boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\alpha} \in W,\boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\gamma} \in W \\ &\Longrightarrow (\boldsymbol{\beta} -\boldsymbol{\alpha}) + (\boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\gamma}) \in W \\ &\Longrightarrow \boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\gamma} \in W \\ &\Longrightarrow \boldsymbol{\beta} \sim \boldsymbol{\gamma}. \end{aligned} β∼α,α∼γ⟹β−α∈W,α−γ∈W⟹(β−α)+(α−γ)∈W⟹β−γ∈W⟹β∼γ.

因此，“∼\sim∼” 是 VVV 上的一个 等价关系。

\quad进一步地，对于 ∀α∈V\forall \boldsymbol{\alpha} \in V∀α∈V，可以定义

αˉ:={β∈V∣β∼α}={β∈V∣β−α∈W}={β∈V∣β−α=η,η∈W}={α+η∈V∣η∈W}.\begin{aligned} \bar{\boldsymbol{\alpha}}:&=\{ \boldsymbol{\beta} \in V \mid \boldsymbol{\beta} \sim \boldsymbol{\alpha} \} \\ &= \{ \boldsymbol{\beta} \in V \mid \boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\alpha} \in W \} \\ &= \{ \boldsymbol{\beta} \in V \mid \boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\eta} ,\boldsymbol{\eta} \in W\} \\ &= \{ \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\eta} \in V \mid \boldsymbol{\eta} \in W \}. \end{aligned} αˉ:={β∈V∣β∼α}={β∈V∣β−α∈W}={β∈V∣β−α=η,η∈W}={α+η∈V∣η∈W}.

记

αˉ:=α+W,\bar{\boldsymbol{\alpha}}:=\boldsymbol{\alpha} + W, αˉ:=α+W,

称 α+W\boldsymbol{\alpha} + Wα+W 为 WWW 的一个 陪集。

\quad显然，α:=α+W\boldsymbol{\alpha}:=\boldsymbol{\alpha} + Wα:=α+W，α\boldsymbol{\alpha}α 的等价类，α\boldsymbol{\alpha}α 为 αˉ\bar{\boldsymbol{\alpha}}αˉ 的一个 代表。

\quad下面，研究下陪集的性质。

（1）分析可知，

β∈αˉ:⟺β∈α+W⟺β∼α⟹β−α∈W⇕α∼β⇕α+W=αˉ=βˉ=β+W.\begin{aligned} \boldsymbol{\beta} \in \bar{\boldsymbol{\alpha}} :\Longleftrightarrow \boldsymbol{\beta} \in \boldsymbol{\alpha} + W \Longleftrightarrow \boldsymbol{\beta} &\sim \boldsymbol{\alpha} \Longrightarrow \boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\alpha} \in W \\ &\Updownarrow \\ \boldsymbol{\alpha} &\sim \boldsymbol{\beta} \\ &\Updownarrow \\ \boldsymbol{\alpha} + W = \bar{\boldsymbol{\alpha}} &= \bar{\boldsymbol{\beta}} = \boldsymbol{\beta} + W. \end{aligned} β∈αˉ:⟺β∈α+W⟺βαα+W=αˉ∼α⟹β−α∈W⇕∼β⇕=βˉ=β+W.

显然，陪集 α+W\boldsymbol{\alpha} + Wα+W 的代表不唯一！

（2）由于 W=0+WW = \boldsymbol{0} + WW=0+W，因此子空间 WWW 本身也是自身的一个陪集。

（3）由（1）、（2）可知，

γ+W=W⟺γ+W=0+W⟺γ−0∈W⟺γ∈W.\boldsymbol{\gamma} + W = W \Longleftrightarrow \boldsymbol{\gamma} + W = 0 + W \Longleftrightarrow \boldsymbol{\gamma} - 0 \in W \Longleftrightarrow \boldsymbol{\gamma} \in W. γ+W=W⟺γ+W=0+W⟺γ−0∈W⟺γ∈W.

定义3. VVV 对子空间 WWW 的商集：由上述等价关系 “∼\sim∼” 确定的 VVV 的商集 V/∼{V}\big/_{\sim}V/∼，记作 V/W{V} \big/ _{W}V/W，称为 VVV 对子空间 WWW 的 商集。

V/W:={α+W∣α∈V}V \big/ {}_{W}:=\{\boldsymbol{\alpha} + W \mid \boldsymbol{\alpha} \in V\} V/W:={α+W∣α∈V}

\quad回顾商集的性质（2）：W=0+WW = \boldsymbol{0} + WW=0+W，类比学过的线性空间，我们似乎找到了商集的一个“零元”，自然而然地，会思考：

可否在商集上定义运算，如加法、数量乘法？

\quad很容易作如下定义：∀α,β∈V\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in V∀α,β∈V，∀k∈K\forall k \in K∀k∈K，

（1）(α+W)+(β+W)=(α+β)+W(\boldsymbol{\alpha} + W) + (\boldsymbol{\beta} + W) = (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + W(α+W)+(β+W)=(α+β)+W;

（2）k⋅(α+W)=k⋅α+Wk\cdot(\boldsymbol{\alpha} + W) = k\cdot \boldsymbol{\alpha} + Wk⋅(α+W)=k⋅α+W.

\quad那么，这样的定义是否合理呢？我们说是合理的，理由如下。

\quad对于上面定义的“加法”，设

α+W=γ+W,β+W=δ+W\boldsymbol{\alpha} + W = \boldsymbol{\gamma} + W,\boldsymbol{\beta} + W = \boldsymbol{\delta} + W α+W=γ+W,β+W=δ+W

显然，α−γ∈W\boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\gamma} \in Wα−γ∈W，β−δ∈W\boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\delta} \in Wβ−δ∈W.

从而

(α+β)−(γ+δ)=(α−γ)+(β−δ)∈W,(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) - (\boldsymbol{\gamma} + \boldsymbol{\delta}) = (\boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\gamma} ) + (\boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\delta}) \in W , (α+β)−(γ+δ)=(α−γ)+(β−δ)∈W,

于是

(α+β)+W=(γ+δ)+W(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + W = (\boldsymbol{\gamma} + \boldsymbol{\delta}) + W (α+β)+W=(γ+δ)+W

因此，这样定义的“加法运算”是合理的。

这样定义的“加法”，运算的结果唯一，因此是定义良好的。

同样地，对于上面定义的“数乘”，由于

k⋅α−k⋅γ=k⋅(α−γ)∈W,k \cdot \boldsymbol{\alpha} - k \cdot \boldsymbol{\gamma} = k \cdot (\boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\gamma}) \in W, k⋅α−k⋅γ=k⋅(α−γ)∈W,

因此

k⋅α+W=k⋅γ+Wk \cdot \boldsymbol{\alpha} + W = k \cdot \boldsymbol{\gamma} + W k⋅α+W=k⋅γ+W

因此，这样定义的“数乘运算”也是合理的。

前面我们说，可能已经找到了商集的一个“零元” WWW，下面进行验证：

W+(α+W)=(0+W)+(α+W)=(0+α)+W=α+W.\begin{aligned} W + (\boldsymbol{\alpha} + W) &= (\boldsymbol{0} + W) + (\boldsymbol{\alpha} + W) \\ &=(\boldsymbol{0} + \boldsymbol{\alpha}) + W \\ &=\boldsymbol{\alpha} + W. \end{aligned} W+(α+W)=(0+W)+(α+W)=(0+α)+W=α+W.

易证，V/WV \big/_{W}V/W 是数域 KKK 上的一个线性空间。

前面介绍了商空间，下面介绍有关商空间的两个重要定理。

定理 1：设 VVV 是数域 KKK 上的一个线性空间，WWW 是 VVV 的一个子空间，且 dim⁡V=n\dim V = ndimV=n，则有：

dim⁡V=dim⁡V/W+dim⁡W.\dim V = \dim V \big/_{W} + \dim W. dimV=dimV/W+dimW.

证明：

设 α1,α2,⋯,αs\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}α1,α2,⋯,αs 为 WWW 的一个基，将其扩展为 VVV 的一个基：

α1,α2,⋯,αs,αs+1,⋯,αn.\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\alpha}_{s+1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}. α1,α2,⋯,αs,αs+1,⋯,αn.

对于 ∀α+W∈V/W\forall \boldsymbol{\alpha} + W \in V\big/_{W}∀α+W∈V/W，设

α=a1α1+a2α2+⋯+asαs+as+1αs+1⋯+anαn.\boldsymbol{\alpha} = a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + a_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2} + \cdots +a_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} + a_{s+1} \boldsymbol{\alpha}_{s+1} \cdots + a_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}. α=a1α1+a2α2+⋯+asαs+as+1αs+1⋯+anαn.

则

α+W=(a1α1+a2α2+⋯+asαs+as+1αs+1⋯+anαn)+W=[(a1α1+a2α2+⋯+asαs)+W]+[(as+1αs+1⋯+anαn)+W]=(0+W)+[(as+1αs+1⋯+anαn)+W]=(0+W)+(as+1αs+1+W)+⋯+(anαn+W)=W+as+1(αs+1+W)+⋯+an(αn+W)=as+1(αs+1+W)+⋯+an(αn+W).\begin{aligned} \boldsymbol{\alpha} + W &= (a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + a_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2} + \cdots +a_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} + a_{s+1} \boldsymbol{\alpha}_{s+1} \cdots + a_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}) + W \\ &=[(a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + a_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2} + \cdots +a_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}) + W ] + [(a_{s+1} \boldsymbol{\alpha}_{s+1} \cdots + a_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}) + W] \\ &=(\boldsymbol{0} + W) + [(a_{s+1} \boldsymbol{\alpha}_{s+1} \cdots + a_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}) + W] \\ &=(\boldsymbol{0} + W) + (a_{s+1}\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + W) + \cdots + (a_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n} + W) \\ &= W + a_{s+1}(\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + W) + \cdots + a_{n}(\boldsymbol{\alpha}_{n} + W) \\ &= a_{s+1}(\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + W) + \cdots + a_{n}(\boldsymbol{\alpha}_{n} + W). \end{aligned} α+W=(a1α1+a2α2+⋯+asαs+as+1αs+1⋯+anαn)+W=[(a1α1+a2α2+⋯+asαs)+W]+[(as+1αs+1⋯+anαn)+W]=(0+W)+[(as+1αs+1⋯+anαn)+W]=(0+W)+(as+1αs+1+W)+⋯+(anαn+W)=W+as+1(αs+1+W)+⋯+an(αn+W)=as+1(αs+1+W)+⋯+an(αn+W).

也就是说，∀α+W∈V/W\forall \boldsymbol{\alpha} + W \in V\big/_{W}∀α+W∈V/W 都可以由 αs+1+W\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + Wαs+1+W，⋯\cdots⋯，αn+W\boldsymbol{\alpha}_{n} + Wαn+W 线性表出。

下面再来验证线性无关性，证明 αs+1+W\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + Wαs+1+W，⋯\cdots⋯，αn+W\boldsymbol{\alpha}_{n} + Wαn+W 是 V/WV \big/_{W}V/W 的一个基，设

ks+1(αs+1+W)+⋯+kn(αn+W)=0+W=W⇕(ks+1αs+1+W)+⋯+(knαn+W)=W⇕(ks+1αs+1+⋯+knαn)+W=W⇕ks+1αs+1+⋯+knαn∈W.k_{s+1}(\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + W) + \cdots + k_{n}(\boldsymbol{\alpha}_{n} + W) = \boldsymbol{0} + W = W \\ \Updownarrow \\ (k_{s+1}\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + W) + \cdots + (k_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n} + W) = W \\ \Updownarrow \\ (k_{s+1}\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + \cdots + k_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}) + W = W \\ \Updownarrow \\ k_{s+1}\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + \cdots + k_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n} \in W. ks+1(αs+1+W)+⋯+kn(αn+W)=0+W=W⇕(ks+1αs+1+W)+⋯+(knαn+W)=W⇕(ks+1αs+1+⋯+knαn)+W=W⇕ks+1αs+1+⋯+knαn∈W.

由于 α1,α2,⋯,αs\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}α1,α2,⋯,αs 是 WWW 的一个基，因此存在k1,k2,⋯,ksk_{1},k_{2},\cdots,k_{s}k1,k2,⋯,ks 使得

ks+1αs+1+⋯+knαn=k1α1+⋯+ksαs.k_{s+1}\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + \cdots + k_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n} = k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1} + \cdots + k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s}. ks+1αs+1+⋯+knαn=k1α1+⋯+ksαs.

移项，即得：

k1α1+⋯+ksαs+(−ks+1)αs+1+⋯+(−kn)αn=0.k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1} + \cdots + k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s} + (-k_{s+1})\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + \cdots + (-k_{n})\boldsymbol{\alpha}_{n} = \boldsymbol{0}. k1α1+⋯+ksαs+(−ks+1)αs+1+⋯+(−kn)αn=0.

注意，α1,α2,⋯,αs,αs+1,⋯,αn\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\alpha}_{s+1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}α1,α2,⋯,αs,αs+1,⋯,αn 是 VVV 的一个基，因此

k1=k2=⋯=ks=ks+1=⋯=kn=0,k_{1} = k_{2} = \cdots = k_{s} = k_{s+1} = \cdots = k_{n} = 0, k1=k2=⋯=ks=ks+1=⋯=kn=0,

因此，αs+1+W\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + Wαs+1+W，⋯\cdots⋯，αn+W\boldsymbol{\alpha}_{n} + Wαn+W 在 V/WV \big/_{W}V/W 上线性无关。

综上， αs+1+W\boldsymbol{\alpha}_{s+1} + Wαs+1+W，⋯\cdots⋯，αn+W\boldsymbol{\alpha}_{n} + Wαn+W 是 V/WV \big/_{W}V/W 的一个基。根据基与维数的关系，有

dim⁡V=dim⁡V/W+dim⁡W.\dim V = \dim V\big/_{W} + \dim W. dimV=dimV/W+dimW.

下面再来探究一个与定理 1 相反的情形，即定理 2。

定理 2：设 V/WV\big/_{W}V/W 的一个基为 β1+W,β2+W,⋯,βt+W\boldsymbol{\beta}_{1} + W,\boldsymbol{\beta}_{2} + W,\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t} + Wβ1+W,β2+W,⋯,βt+W，U=L(β1,β2,⋯,βt)U=L(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t})U=L(β1,β2,⋯,βt)，则：

（1）V=W⊕UV = W \oplus UV=W⊕U；

（2）β1,β2,⋯,βt\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t}β1,β2,⋯,βt 是 UUU 的一个基。

证明：

先说明一下思路，对于（1），先证明 V=W+UV = W + UV=W+U，然后证明是直和，下面开始证明。

任取 α∈V\boldsymbol{\alpha}\in Vα∈V，由于 β1+W,β2+W,⋯,βt+W\boldsymbol{\beta}_{1} + W,\boldsymbol{\beta}_{2} + W,\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t} + Wβ1+W,β2+W,⋯,βt+W 是 V/WV\big/_{W}V/W 的一个基，因此存在 a1,a2,⋯,at∈Ka_{1},a_{2},\cdots,a_{t} \in Ka1,a2,⋯,at∈K，使得

α+W=a1(β1+W)+a2(β2+W)+⋯+at(βt+W)⇕α−(a1β1+a2β2+⋯+atβt)+W=W⇕α−(a1β1+a2β2+⋯+atβt)∈W\boldsymbol{\alpha} + W = a_{1}(\boldsymbol{\beta}_{1} + W) + a_{2}(\boldsymbol{\beta}_{2} + W) + \cdots + a_{t}(\boldsymbol{\beta}_{t} + W) \\ \Updownarrow \\ \boldsymbol{\alpha} - (a_{1} \boldsymbol{\beta}_{1} + a_{2} \boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + a_{t} \boldsymbol{\beta}_{t}) + W = W \\ \Updownarrow \\ \boldsymbol{\alpha} - (a_{1} \boldsymbol{\beta}_{1} + a_{2} \boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + a_{t} \boldsymbol{\beta}_{t}) \in W α+W=a1(β1+W)+a2(β2+W)+⋯+at(βt+W)⇕α−(a1β1+a2β2+⋯+atβt)+W=W⇕α−(a1β1+a2β2+⋯+atβt)∈W

方便起见，作一下化简，设

β=a1β1+a2β2+⋯+atβt\boldsymbol{\beta} = a_{1} \boldsymbol{\beta}_{1} + a_{2} \boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + a_{t} \boldsymbol{\beta}_{t} β=a1β1+a2β2+⋯+atβt

于是

α−β∈W⇕α−β=η∈W⇕α=β+η∈V,β∈U,η∈W.\boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\beta} \in W \\ \Updownarrow \\ \boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\eta} \in W \\ \Updownarrow \\ \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\eta} \in V,\boldsymbol{\beta} \in U,\boldsymbol{\eta} \in W. α−β∈W⇕α−β=η∈W⇕α=β+η∈V,β∈U,η∈W.

因此

V=U+W.V = U + W. V=U+W.

任取 γ∈W∩U\boldsymbol{\gamma} \in W \cap Uγ∈W∩U，由 γ∈U\boldsymbol{\gamma} \in Uγ∈U 可得

γ=l1β1+l2β2+⋯+ltβt,l1,l2,⋯,lt∈K.\boldsymbol{\gamma} = l_{1}\boldsymbol{\beta}_{1} + l_{2}\boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + l_{t}\boldsymbol{\beta}_{t},\quad l_{1},l_{2},\cdots,l_{t} \in K. γ=l1β1+l2β2+⋯+ltβt,l1,l2,⋯,lt∈K.

由 γ∈W\boldsymbol{\gamma} \in Wγ∈W 可得

γ∈W⟺γ+W=W=(l1β1+l2β2+⋯+ltβt)+W⇕0+W=(l1β1+l2β2+⋯+ltβt)+W\boldsymbol{\gamma} \in W \Longleftrightarrow \boldsymbol{\gamma} + W = W = (l_{1}\boldsymbol{\beta}_{1} + l_{2}\boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + l_{t}\boldsymbol{\beta}_{t}) + W \\ \Updownarrow \\ \boldsymbol{0} + W = (l_{1}\boldsymbol{\beta}_{1} + l_{2}\boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + l_{t}\boldsymbol{\beta}_{t}) + W γ∈W⟺γ+W=W=(l1β1+l2β2+⋯+ltβt)+W⇕0+W=(l1β1+l2β2+⋯+ltβt)+W

可得两个结论：

一方面，

0+W=(l1β1+l2β2+⋯+ltβt)+W⇕0+W=l1(β1+W)+l2(β2+W)+⋯+lt(βt+W)\boldsymbol{0} + W = (l_{1}\boldsymbol{\beta}_{1} + l_{2}\boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + l_{t}\boldsymbol{\beta}_{t}) + W \\ \Updownarrow \\ \boldsymbol{0} + W = l_{1}(\bold{\beta}_{1} + W) + l_{2}(\bold{\beta}_{2} + W) + \cdots + l_{t}(\bold{\beta}_{t} + W) 0+W=(l1β1+l2β2+⋯+ltβt)+W⇕0+W=l1(β1+W)+l2(β2+W)+⋯+lt(βt+W)

由于 β1+W,β2+W,⋯,βt+W\boldsymbol{\beta}_{1} + W,\boldsymbol{\beta}_{2} + W,\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t} + Wβ1+W,β2+W,⋯,βt+W 线性无关，因此

l1=l2=⋯=lt=0.l_{1} = l_{2} = \cdots = l_{t} = 0. l1=l2=⋯=lt=0.

从而 γ=0⟹W∩U={0}⟹V=W⊕U\boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{0} \Longrightarrow W \cap U = \{\boldsymbol{0}\}\Longrightarrow V = W \oplus Uγ=0⟹W∩U={0}⟹V=W⊕U.

另一方面，

0+W=(l1β1+l2β2+⋯+ltβt)+W⇕l1β1+l2β2+⋯+ltβt=0\boldsymbol{0} + W = (l_{1}\boldsymbol{\beta}_{1} + l_{2}\boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + l_{t}\boldsymbol{\beta}_{t}) + W \\ \Updownarrow \\ l_{1}\boldsymbol{\beta}_{1} + l_{2}\boldsymbol{\beta}_{2} + \cdots + l_{t}\boldsymbol{\beta}_{t} = \boldsymbol{0} 0+W=(l1β1+l2β2+⋯+ltβt)+W⇕l1β1+l2β2+⋯+ltβt=0

由于 l1=l2=⋯=lt=0l_{1} = l_{2} = \cdots = l_{t} = 0l1=l2=⋯=lt=0，因此 l1,l2,⋯,ltl_{1},l_{2},\cdots,l_{t}l1,l2,⋯,lt 是 UUU 的一个基。

参考：

邱维声. 高等代数课程. 哔哩哔哩.
邱维声. 高等代数——大学高等代数课程创新教材（上册），北京：清华大学出版社，2010.06.
邱维声. 高等代数——大学高等代数课程创新教材（下册），北京：清华大学出版社，2010.10.

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