KMP算法详解：

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt（雾）提出的。

对于字符串匹配问题（such as 问你在abababb中有多少个ab串？），朴素的想法是定一个i，从字符串首扫到字符串尾部来枚举字符串位置，找到一个首字符相同的就通过第二层for循环来继续往下一个字符一个字符的匹配。

直到匹配到长度和需要匹配的子串（模式串）长度相等，我们就说找到了一个在原串中的子串并将答案加一，然后继续往下像蜗牛一样的搜索。

有关相似的算法，链接这里hash

举个栗子：A：GCAKIOI      B：GC     ，那么我们称B串是A串的子串

我们称等待匹配的A串为主串，用来匹配的B串为模式串。

一般的朴素做法就是枚举B串的第一个字母在A串中出现的位置并判断是否适合，而这种做法的时间复杂度是O(mn)的，当你处理一篇较长文章的时候显然就会超时。

我们会发现在字符串匹配的过程中，绝大多数的尝试都会失败，那么有没有一种算法能够利用这些失败的信息呢？

KMP算法就是

KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的

设主串（以下称为T）

设模式串（以下称为W）

用暴力算法匹配字符串过程中，我们会把T[0] 跟 W[0] 匹配，如果相同则匹配下一个字符，直到出现不相同的情况，此时我们会丢弃前面的匹配信息，然后把T[1] 跟 W[0]匹配，循环进行，直到主串结束，或者出现匹配成功的情况。这种丢弃前面的匹配信息的方法，极大地降低了匹配效率。

我们来看一看KMP是怎么工作的

在KMP算法中，对于每一个模式串我们会事先计算出模式串的内部匹配信息（也就是说这个东西只和模式串有关，可以预处理，这个处理我们后面会提到），在匹配失败时最大的移动模式串，以减少匹配次数。

比如，在简单的一次匹配失败后，我们会想将模式串尽量的右移和主串进行匹配。右移的距离在KMP算法中是如此计算的：在已经匹配的模式串子串中，找出最长的相同的前缀和后缀，然后移动使它们重叠。

我们用两个指针i和j分别表示A[i-j+1......i]和B[1......j]完全相等，也就是说i是不断增加的，并且随着i的增加，j也相应的变化，并且j满足以A[j]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前j个字符，现在需要看A[i+1]和B[j+1]的关系

• 当A[i+1]=B[j+1]时，我们将i和j各增加1
• 否则，我们减小j的值，使得A[i-j+1......i]和B[1......j]保持匹配并尝试匹配新的A[i+1]和B[j+1]

举个栗子：

T： a b a b a b a a b a b a c b

W：a b a b a c b

当i=j=5时，此时T[6]!=W[6]，这表明此时j不能等于5了，这个时候我们要改变j的值，使得W[1...j]中的前j'个字母与后j'个字母相同，因为这样j变成j'后（也就是将W右移j'个长度）才能继续保持i和j的性质。这个j'显然越大越好。在这里W[1...5]是匹配的，我们发现当ababa的前三个字母和后三个字母都是aba，所以j'最大也就是3，此时情况是这样

T： a b a b a b a a b a b a c b

W：      a b a b a c b

那么此时i=5，j=3，我们又发现T[6]与W[4]是相等的，然后T[7]与W[5]是相等的（这里是两步）

所以现在是这种情况：i=7，j=5

T： a b a b a b a a b a b a c b

W：      a b a b a c b

这个时候又出现了T[8]!=W[6]的情况，于是我们继续操作。由于刚才已经求出来了当j=5时，j'=3，所以我们就可以直接用了（通过这里我们也可以发现j'是多少和主串没有什么关系，只和模式串有关系）

于是又变成了这样

T： a b a b a b a a b a b a c b

W：            a b a b a c b

这时，新的j=3依然不能满足A[i+1]=B[j+1]，所以我们还需要取j'

我们发现当j=3时aba的第一个字母和最后一个字母都是a，所以这时j'=1

新的情况：

T： a b a b a b a a b a b a c b

W：                  a b a b a c b

仍然不满足，这样的话j需要减小到j'就是0（我们规定当j=1时，j'=0）

T： a b a b a b a a b a b a c b

W：                     a b a b a c b

终于，T[8]=B[1]，i变为8，j变为1，我们一位一位往后，发现都是相等的，最后当j=7还满足条件时，我们就可以下结论：W是T的子串，并且还可以找到子串在主串中的位置（i+1-m+1，因为下标从0开始）

这一部分的代码其实很短，因为用了for循环

inline void kmp()
{int j=0;for(int i=0;i<n;i++){while(j>0&&b[j+1]!=a[i+1]) j=nxt[j];if(b[j+1]==a[i+1]) j++;if(j==m) {printf("%d\n",i+1-m+1);j=nxt[j]; //当输出第一个位置时 直接break掉 //当输出所有位置时 j=nxt[j]; //当输出区间不重叠的位置时 j=0
        }}
}

这里就有一个问题：为什么时间复杂度是线性的？

我们从上述的j值入手，因为每执行一次while循环都会使j值减小（但不能到负数），之后j最多+1，因此整个过程中最多加了n个1.于是j最多只有n个机会减小。这告诉我们，while循环最多执行了n次，时间复杂度平摊到for循环上后，一次for循环的复杂度是O(1)，那么总的时间复杂度就是O(n)的（n是主串长度）。这样的分析对于下文的预处理来说同样有效，也可以得到预处理的时间复杂度是O(m)（m是模式串长度）

接下来是预处理

预处理并不需要按照定义写成O(m²)甚至O(m³)，窝们可以通过nxt[1],nxt[2]....nxt[n-1]来求得nxt[n]的值

举个栗子

W ：a b a b a c b

nxt：0 0 1 2 ？？

假如我们有一个串，并且已经知道了nxt[1~4]那么如何求nxt[5]和nxt[6]呢？

我们发现，由于nxt[4]=2，所以w[1~2]=w[3~4]，求nxt[5]的时候，我们发现w[3]=w[5]，也就是说我们可以在原来的基础上+1，从而得到更长的相同前后缀，此时nxt[5]=nxt[4]+1=3

W ：a b a b a c b

nxt：0 0 1 2 3？

那么nxt[6]是否也是nxt[5]+1呢？显然不是，因为w[nxt[5]+1]!=w[6]，那么此时我们可以考虑退一步，看看nxt[6]是否可以由nxe[5]的情况所包含的子串得到，即是否nxt[6]=nxt[nxt[5]]+1？

事实上，这样一直推下去也不行，于是我们知道nxt[6]=0

那么预处理的代码就是这样的

inline void pre()
{nxt[1]=0;//定义nxt[1]=0 int j=0;rep(i,1,m-1){while(j>0&&b[j+1]!=b[i+1]) j=nxt[j];//不能继续匹配并且j还没有减到0,就退一步 if(b[j+1]==b[i+1]) j++;//如果能匹配，就j++ nxt[i+1]=j;//给下一个赋值
    }
}

全部代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
char s1[1000003],s2[1000003];
int p[1000002];
int n,m;
inline void yuchuli()
{int j=0;for(int i=1;i<m;i++){while(j>0&&s2[i+1]!=s2[j+1])j=p[j];if(s2[i+1]==s2[j+1])j++;p[i+1]=j;}
}
int main(){scanf("%s",s1+1);scanf("%s",s2+1);n=strlen(s1+1);m=strlen(s2+1);yuchuli();int j=0;for(int i=0;i<n;i++){while(j>0&&s1[i+1]!=s2[j+1])j=p[j];if(s2[j+1]==s1[i+1])j++;if(j==m){printf("%d\n",i+2-j);j=p[j];}}for(int i=1;i<=m;i++){printf("%d ",p[i]);}return 0;
}

完结！

部分（后半段）内容引用ych大佬的

原因链接