KMP算法详解及各种应用

KMP算法详解：
KMP算法之所以叫做KMP算法是因为这个算法是由三个人共同提出来的，就取三个人名字的首字母作为该算法的名字。其实KMP算法与BF算法的区别就在于KMP算法巧妙的消除了指针i的回溯问题，只需确定下次匹配j的位置即可，使得问题的复杂度由O(mn)下降到O(m+n)。
在KMP算法中，为了确定在匹配不成功时，下次匹配时j的位置，引入了next[]数组，next[j]的值表示P[0...j-1]中最长后缀的长度等于相同字符序列的前缀。
对于next[]数组的定义如下：
1) next[j]=-1 j=0
2) next[j]=max k:0<k<j P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
3) next[j]=0 其他
如：
P      a    b   a    b   a
j       0   1    2   3   4
next -1 0    0   1   2
即next[j]=k>0时，表示P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
因此KMP算法的思想就是：在匹配过程称，若发生不匹配的情况，如果next[j]>=0，则目标串的指针i不变，将模式串的指针j移动到next[j]的位置继续进行匹配；若next[j]=-1，则将i右移1位，并将j置0，继续进行比较。
代码实现如下：

int KMPMatch(char *s,char *p)
{int next[100];int i , j;i = 0;j = 0;getNext(p , next);while(i < strlen(s)){if(j == -1 || s[i] == p[j]){i++;j++;}else{j = next[j];       //消除了指针i的回溯}if(j == strlen(p))return i - strlen(p);}return -1;
}

因此KMP算法的关键在于求算next[]数组的值，即求算模式串每个位置处的最长后缀与前缀相同的长度，而求算next[]数组的值有两种思路，第一种思路是用递推的思想去求算，还有一种就是直接去求解。
1、按照递推的思想：
   根据定义next[0]=-1，假设next[j]=k, 即P[0...k-1]==P[j-k,j-1]
   1)若P[j]==P[k]，则有P[0..k]==P[j-k,j]，很显然，next[j+1]=next[j]+1=k+1;
   2)若P[j]!=P[k]，则可以把其看做模式匹配的问题，即匹配失败的时候，k值如何移动，显然k=next[k]。
   因此可以这样去实现：

void getNext(char *p,int *next)
{int j,k;next[0] = -1;j = 0;k = -1;while(j < strlen(p) - 1){if(k == -1 || p[j] == p[k])    //匹配的情况下,p[j]==p[k]{j++;k++;next[j] = k;}else                   //p[j]!=p[k]k = next[k];}
}

2、直接求解方法

void getNext(char *p,int *next)
{int i , j , temp;for(i = 0 ; i < strlen(p) ; ++i){if(i == 0){next[i] = -1;     //next[0]=-1}else if(i == 1){next[i] = 0;      //next[1]=0}else{temp = i - 1;for(j = temp ; j > 0 ; --j){if( equals(p , i , j) ){next[i] = j;   //找到最大的k值break;}}if(j == 0)next[i] = 0;}}
}bool equals(char *p,int i,int j)     //判断p[0...j-1]与p[i-j...i-1]是否相等
{int k = 0;int s = i - j;for( ; k <= j - 1 && s <= i - 1 ; k++ , s++){if(p[k] != p[s])return false;}return true;
}

http://poj.org/problem?id=2406

给定一个字符串，问最多是多少个相同子串不重叠连接构成。

KMP的next数组应用。这里主要是如何判断是否有这样的子串，和子串的个数。

若为abababa，显然除其本身外，没有子串满足条件。而分析其next数组，next[7] = 5，next[5] = 3，next[3] = 1，即str[2..7]可由ba子串连接构成，那怎么否定这样的情况呢？很简单，若该子串满足条件，则len%sublen必为0。sunlen可由上面的分析得到为len-next[len]。

因为子串是首尾相接，len/sublen即为substr的个数。

若L%(L-next[L])==0,n = L/(L-next[L]),else n = 1

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;char pattern[1000002];
int next[1000002];/*
kmp算法，需要首先求出模式串的next函数值
next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度
*/
void get_nextval(const char* pattern)
{int i=0,j=-1;next[0]= -1;while(pattern[i] != '\0'){if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] )     //pattern[i]表示后缀的单个字符，pattern[j]表示前缀的单个字符{++i;++j;if(pattern[i] != pattern[j])next[i]=j;elsenext[i]=next[j];}elsej=next[j];    //若j值不相同，则j值回溯}
}//get_nextvalint main(void)
{int len;while(scanf("%s",pattern)!=EOF){if(pattern[0]=='.')break;len=strlen(pattern);get_nextval(pattern);         if(len%(len-next[len])==0)printf("%d\n",len/(len-next[len]));elseprintf("1\n");}return 0;
}

http://poj.org/problem?id=1961

大意：
   定义字符串A,若A最多由n个相同字串s连接而成，则A=s^n,如"aaa" = "a"^3,"abab" = "ab"^2
   "ababa" = "ababa"^1

给出一个字符串A，求该字符串的所有前缀中有多少个前缀SA= s^n（n>1）
输出符合条件的前缀长度及其对应的n

如aaa
前缀aa的长度为2,由2个'a'组成
前缀aaa的长度为3，由3个"a"组成

分析：KMP
若某一长度L的前缀符合上诉条件，则
1.next[L]!=0(next[L]=0时字串为原串，不符合条件)
2.L%(L-next[L])==0（此时字串的长度为L/next[L]）

对于2：有str[0]....str[next[L]-1]=str[L-next[L]-1]...str[L-1]
        =》str[L-next[L]-1] = str[L-next[L]-1+L-next[L]-1] = str[2*(L-next[L]-1)];
  假设S = L-next[L]-1;则有str[0]=str[s]=str[2*s]=str[3*s]...str[k*s],对于所有i%s==0,均有s[i]=s[0]
  同理，str[1]=str[s+1]=str[2*s+1]....
        str[j]=str[s+j]=str[2*s+j]....
  综上，若L%S==0,则可得L为str[0]...str[s-1]的相同字串组成，
  总长度为L,其中字串长度SL = s-0+1=L-next[L],循环次数为L/SL
   故对于所有大于1的前缀，只要其符合上述条件，即为答案之一

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;char pattern[1000002];
int next[1000002];/*
kmp算法，需要首先求出模式串的next函数值
next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度
*/
void get_nextval(const char* pattern)
{int i=0,j=-1;next[0]= -1;while(pattern[i] != '\0'){if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] ){++i;++j;next[i]=j;}elsej=next[j];}
}//get_nextvalint main(void)
{int i,len,n,j=1;while(scanf("%d",&n)!=EOF){if(!n)break;scanf("%s",pattern);len=strlen(pattern);get_nextval(pattern);printf("Test case #%d\n",j++);for(i=2;i<=len;i++){if(i%(i-next[i])==0 && i/(i-next[i])>1)printf("%d %d\n",i,i/(i-next[i]));}printf("\n");}return 0;
}

http://poj.org/problem?id=2752
大意：
给出一个字符串A,求A有多少个前缀同时也是后缀，从小到大输出这些前缀的长度。

分析：KMP
对于长度为len的字符串，由next的定义知：
A[0]A[1]...A[next[len]-1]=A[len-next[len]]...A[len-1]此时A[0]A[1]...A[next[len]-1]为一个符合条件的前缀
有A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1] = A[len-next[next[len] - next[next[len]]]...A[next[len]-1],故A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1]也是一个符合条件的前缀
故从len=>next[len]=>next[next[len]] ....=>直到某个next[]为0均为合法答案，注意当首位单词相同时，也为答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;char pattern[400002];
int next[400002];/*
kmp算法，需要首先求出模式串的next函数值
next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度
*/
void get_nextval(const char* pattern)
{int i=0,j=-1;next[0]= -1;while(pattern[i] != '\0'){if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] ){++i;++j;next[i]=j;}elsej=next[j];}
}//get_nextvalint main(void)
{int i,len,n;vector<int>ans;while(scanf("%s",pattern)!=EOF){ans.clear();len=strlen(pattern);get_nextval(pattern);n=len;while(n){ans.push_back(n);n=next[n];}if(pattern[0]==pattern[n-1])   //首部、尾部字符相同ans.push_back(1);i=ans.size()-1;for(;i>0;i--)printf("%d ",ans[i]);printf("%d\n",ans[0]);}return 0;
}

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