奇淫巧技的KMP算法--详解

奇淫巧技的KMP算法–详解

花了一下午时间，看了十几个博客，终于拿下了KMP高地，现在总结下下自己对KMP的理解和实现。
情景1
假如你是一名生物学家，现在，你的面前有两段 DNA 序列 S 和 T，你需要判断 T 是否可以匹配成为 S 的子串。

你可能会凭肉眼立即得出结论：是匹配的。可是计算机没有眼睛，只能对每个字符进行逐一比较。

对于计算机来讲，首先它会从左边第一个位置开始进行逐一比较：

这样，当匹配到 T 的最后一个字符时，发现不匹配，于是从 S 的第二个字符开始重新进行比较：

仍然不匹配，再次将 T 与 S 的第三个字符开始匹配…不断重复以上步骤，直到从 S 的第四个字符开始时，最终得出结论：S 与 T 是匹配的。

你发现这个方法的弊端了吗？我们在进行每一轮匹配时，总是会重复对 A 进行比较。也就是说，对于 S 中的每个字符，我们都需要从 T 第一个位置重新开始比较，并且 S 前面的 A 越多，浪费的时间也就越多。假设 S 的长度为 mmm，T 的长度为 nnn，理论上讲，最坏情况下迭代 m−n+1m - n + 1m−n+1 轮，每轮最多进行 nnn 次比对，一共比较了 (m−n+1)×n(m - n + 1)\times n(m−n+1)×n 次，当 m>>nm >> nm>>n 时，渐进时间复杂度为 O(mn)O(mn)O(mn)。

而 KMP 算法的好处在于，它可以将时间复杂度降低到 O(m+n)O(m + n)O(m+n)，字符序列越长，该算法的优势越明显。它是怎么实现的呢？

情景 2
再来举一个例子，现在有如下字符串 S 和 P，判断 P 是否为 S 的子串。

我们仍然按照原来的方式进行比较，比较到 P 的末尾时，我们发现了不匹配的字符。

注意，按照原来的思路，我们下一步应将字符串 P 的开头，与字符串 S 的第二位 C 重新进行比较。而 KMP 算法告诉我们，我们只需将字符串 P 需要比较的位置重置到图中 j 的位置，S 保持 i 的位置不变，接下来即可从 i，j 位置继续进行比较。

为什么？我们发现字符串 P 有子串 ACT 和 ACY，当 T 和 Y 不匹配时，我们就确定了 S 中的蓝色 AC 并不匹配 P 右侧的 AC，但是可能匹配左侧的 AC，所以我们从位置 i 和 j 继续比较。

换句话说，Y 对应下标 2，表示下一步要重新开始的地方。

既然如此，如果每次不匹配的时候，我们都能立刻知道 P 中不匹配的元素，下一步应该从哪个下标重新开始，这样不就能大大简化匹配过程了吗？这就是 KMP 的核心思想。

KMP 算法中，使用一个数组 next 来保存 P 中元素不匹配时，下一步应该重新开始的下标。由于计算机不能像我们人类一样，通过视觉来得出结论，因此这里有一种适合计算机的构造 next 数组的方法。

Next数组求解
好了，到这就来到了核心部分，前面kmp原理介绍就偷了个懒，全文引用了LeetCode 上的KMP原理介绍。KMP的复杂之处，也就是核心之处在于如何求解next数组。求解next数组就需要先理解字符串的最长公共前后*缀。

前缀和后缀定义

前缀：指除了最后一个字符以外一个字符串的全部头部组合。如字符串aabaaac的前缀{a,aa,aab,aaba,aabaa,aabaaa }
后缀：指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。如字符串aabaaac的前后缀{abaaac,baaac,aaac,aac,ac,c }
next[0]: a 的最长公共前后缀，没有前后缀。为0
next[1]: aa 的最长公共前后缀,前缀{a}，后缀{a}。为1
next[2]: aab 的最长公共前后缀，前缀{a,aa}，后缀{ ab,b}为0
next[3]: aaba 的最长公共前后缀,前缀{a,aa,aab}，后缀{aba,ba,a}。为1
next[4]: aabaa 的最长公共前后缀,前缀{a,aa,aab,aaba}，后缀{abaa,baa,aa,a}。为2
next[5]: aabaaa 的最长公共前后缀，前缀{a,aa,aab,aaba,aabaa}，后缀
{abaaa,baaa,aaa,aa,a}为2
next[6]: aabaaac 的最长公共前后缀,前缀{a,aa,aab,aaba,aabaa,aabaaa}，后缀{abaaac,baaac,aaac,aac,ac,c}。为0
next[i]代表字符串0到i位置（包括i）的子串的最长公共前后缀的长度。

**既next[i] 表示
**str.subString(0,i+1).subString(0，next[i]) == str.subString(0,i+1).subString(i+1-next[i],i+1)这个地方的理解对后面求解next数组很重要

知道next数组的含义之后就是，我们就来求next数组。

 public int[] next(String str){int length= str.length();int[] next = new int[length];int head =1;int tial = 0;next[0] = 0;while(head<length){if(str.charAt(head)== str.charAt(tial)){tial++;next[head] = tial;//最长公共前缀后缀的长度，tial+1代表当前最长公共前后缀的长度head++;}else{if(tial==0){//此时代表最长公共前后缀的长度为0；head++;}else {tial = next[tial-1];}}}return next;}

在求next数组的时候，最难理解的就是tial = next[tial-1]； ，这也是KMP算法奇淫巧技的地方，绝大部分的讲解也没有去将为什么处理这步，这也导致了很难去理解KMP算法。
因为str.charAt(tail) != str.charAt(head) （此时最长公共前后缀无法满足增长了，只能是往回找），tial此时需要往回调。
如果tial!=0则表示此时0到tial的位置的子串与head-tial到head位置的子串是一样的。
next[tial-1]表示str.subString(0,tial)这个字符串的最长公共前后缀，而str.subString(0,tial)与str.subString(head-tial,head)是完全一样的，所以tial 跳转 next[tila-1]位置，再将str.charAt(tial) 与str.charAr(head)进行比较，如果相等则next[head] = tial++;tial表示字符的位置。
主要是要理解tial = next[tial-1],巧妙的地方就是tial的往回跳转，当tial！=0时是满足当前head之前有tail-1个元素是与0到tial-1是最长的公共前后缀然后再比较str.charAt(head)== str.charAt(tial)。tial==0就表示即到了当前字符串开始位置和最后的head的位置进行比较。

 public int strStr(String haystack, String needle) {if(needle.length()==0){return 0;}int []next = next(needle);for (int i = 0; i <next.length ; i++) {System.out.println(next[i]);}int S_index = 0;int M_index = 0;while(S_index<haystack.length()&&M_index < needle.length()){if(haystack.charAt(S_index)== needle.charAt(M_index)){M_index++;S_index++;}else{if(M_index ==0){//M_index ==0 代表此时在匹配字符串的第一个位置，因// 为needle与haystack第一个位置匹配不上，所以haystack的指针往后移S_index++;}else{// M_idnex!=0,根据next的值，needle的指针往回移next[M_index-1]的位置上。M_index = next[M_index-1];}}}return M_index == needle.length()?S_index-M_index:-1;}

由于不好画图，建议在阅读的过程中画图理解tial = next[tial-1]的跳转思路。

注：也可以BF求解next数组，但是在LeetCode上超时了

public int[] get_Next(String str){int length = str.length();int[] next = new int[length];next[0] = 0;for(int i =1;i<length;i++){int len =0;for(int j =1;j<=i;j++) {//枚举前后缀进行比较if (str.substring(0, j).equals(str.substring(i + 1 - j, i + 1))) {if (len < j) {len = j;}}}next[i] =len;}return next;}

参考文献：
链接：https://blog.csdn.net/V_0617/article/details/79114860
链接：https://leetcode-cn.com/leetbook/read/array-and-string/cpoo6/
来源：力扣（LeetCode）

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