算法导论练习9.3-8两个有序数组的中位数

9.3-8 设X[1…n]和Y[1…n]为两个数组，每个都包含n个有序的元素，请设计一个O(lgn)O(lgn)O(lgn)时间的算法找出数组X和Y中所有2n个元素的中位数。

下面假设中位数(低中位数，数组长度偶数时较小的那个)在数组XXX中。如果要求中间两个数的均值，只需要在该基础之上修改一点就好。

a、X[k]=mX[k]=mX[k]=m为中位数，对于数组XXX,有kkk个元素小于等于X[k]X[k]X[k]，同时有n−kn-kn−k个元素大于等于X[k]X[k]X[k]。当两个数组合并有序时，对于中位数来说，共有nnn个元素小于等于X[k]X[k]X[k]，n个元素大于等于X[k]X[k]X[k]。那么对于数组YYY来说，有n−kn-kn−k个元素小于等于X[k]X[k]X[k]，n−(n−k)=kn-(n-k)=kn−(n−k)=k个元素大于等于X[k]X[k]X[k]。那么就存在以下不等式：

Y[n−k]≤X[k]≤Y[n−k+1],1≤k<nY[n-k] \leq X[k] \leq Y[n-k+1],1 \leq k < nY[n−k]≤X[k]≤Y[n−k+1],1≤k<n

b、若X[k]若X[k]若X[k]不是中位数。且中位数为X[k′] (1≤k′<k<n)X[k'] \,(1 \leq k' < k < n)X[k′](1≤k′<k<n)，那么就有：

Y[n−k′]≤X[k′]≤Y[n−k′+1]Y[n-k'] \leq X[k'] \leq Y[n-k'+1]Y[n−k′]≤X[k′]≤Y[n−k′+1]

那么对于X[k]X[k]X[k]来说，有：
Y[n−k+1]≤Y[n−k′]≤X[k′]<X[k]Y[n−k+1]<X[k]\begin{aligned} Y[n-k+1] &\leq Y[n-k'] \leq X[k'] < X[k] \\ Y[n-k+1] &< X[k] \end{aligned} Y[n−k+1]Y[n−k+1]≤Y[n−k′]≤X[k′]<X[k]<X[k]

c、若X[k]若X[k]若X[k]不是中位数。且中位数为X[k′](1≤k<k′<n)X[k'] \ (1 \leq k < k' < n)X[k′] (1≤k<k′<n)，那么就有：
Y[n−k′]≤X[k′]≤Y[n−k′+1]Y[n-k'] \leq X[k'] \leq Y[n-k'+1]Y[n−k′]≤X[k′]≤Y[n−k′+1]

那么对于X[k]X[k]X[k]来说，有：
X[k]<X[k′]≤Y[n−k′+1]≤Y[n−k]X[k]<Y[n−k]\begin{aligned} X[k] &< X[k'] \leq Y[n-k'+1] \leq Y[n-k] \\ X[k] &< Y[n-k] \end{aligned} X[k]X[k]<X[k′]≤Y[n−k′+1]≤Y[n−k]<Y[n−k]

d、在递归的过程中，我们要注意一个递归的一个边界问题，在实际的编程中，对于数组A[L,..R]，1≤L≤R≤nA[L,..R]，1 \leq L \leq R \leq nA[L,..R]，1≤L≤R≤n。我们取k=(L+R)/2,k∈[1,n]k=(L+R)/2,k \in [1,n]k=(L+R)/2,k∈[1,n], 当k=nk=nk=n时，那么对于上面三种情况会出现Y[n−k]=Y[0]Y[n-k]=Y[0]Y[n−k]=Y[0]是一个空数组，对于这种情况，其实只需判断X[k]=X[n]≤Y[1]X[k]=X[n] \leq Y[1]X[k]=X[n]≤Y[1]。

利用上面的性质，就可以在O(1)O(1)O(1)的时间内判断X[k]X[k]X[k]是否时中位数。对于一个数组区间X[L,R]X[L,R]X[L,R]。我们采用二分的思想，取中点k=(L+R)/2k=(L+R)/2k=(L+R)/2，判断上面的条件，如果满足条件a或d，那么X[k]X[k]X[k]就是中位数，如果是条件b，那么说明kkk偏大，我们在左子区间继续二分查找，否则为条件c，我们在右子区间继续二分查找。这样的一个二分查找过程的时间复杂度为Θ(lgn)\Theta(lgn)Θ(lgn)。

上面给出性质的是假设中位数在数组XXX的分析，如果中位数不在数组XXX中，在查找的过程中到达边界而不满足X[k]X[k]X[k]为中位数的a条件，我们可以返回一个标志如NOTFIND。此时中位数一定在数组YYY中，我们进行同样的操作。最差情况下进行2lgn2lgn2lgn次查找。时间复杂度仍为为Θ(lgn)\Theta(lgn)Θ(lgn)。

下面是伪代码:

Two-Array-Medium(X,Y)
n <-- X.length  //与数组Y长度相同
medium = Find-Medium(X,Y,1,n,n)//先尝试在数组X查找
if medium = NOTFIND//未找到，在Y数组查找medium = Find-Medium(Y,X,1,n,n)
return mediumFind-Medium(A,B,low,high,n)
if low > highreturn NOTFIND
elsek = (high+low)/2if k=n and A[n]<=B[1]return A[n]elseif k < n and B[n-k] <= A[k] <= B[n-k+1]return A[k]elseif B[n-k+1] < A[k]return Find-Medium(A,B,low,k-1,n)elsereturn Find-Medium(A,B,k+1,high,n)

实际编程中，数组从0开始稍微改动下即可。

#include<iostream>
#include<ctime>
#include<random>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LEN 5
#define NOTFIND 0x3f3f3f3f//参数n为数组长度,此时边界为n-1
int findMedium(int A[],int B[],int L,int R,int n)
{if(L>R)return NOTFIND;int k=(L+R)/2;// k=n-1时要独立一个分支，否则第二个if会越界if(k==(n-1)&&A[k]<=B[0])return A[k];else if(k<(n-1)&&B[n-k-2]<=A[k]&&A[k]<=B[n-k-1])return A[k];else if(B[n-k-1]<A[k])return findMedium(A,B,L,k-1,n);elsereturn findMedium(A,B,k+1,R,n);
}
int TwoArrayMedium(int A[],int B[],int len)
{int ret=NOTFIND;if((ret=findMedium(A,B,0,len-1,len))==NOTFIND)ret=findMedium(B,A,0,len-1,len);//不在数组A,继续在B中查找return ret;
}
template<typename T,unsigned N>
void getRandomArray(T (&arr)[N])
{//随机生成2000以内的随机数static default_random_engine e(time(nullptr));static uniform_int_distribution<T> d(0,2000);for(auto &i:arr)i=d(e);sort(arr,arr+N);//数组排序
}
int main()
{int A[LEN];int B[LEN];getRandomArray(A);getRandomArray(B);int C[2*LEN];copy(A,A+LEN,C);copy(B,B+LEN,C+LEN);sort(C,C+2*LEN);for(auto i:C)cout << i << " ";cout << endl;cout << "中位数为:" << TwoArrayMedium(A,B,LEN) << endl;return 0;
}

这个问题我只求了低中位数，因为数组总长度为2n2n2n恒为偶数，因此如果要求中间两个数的均值。只需要在上面代码的基础上稍微改下，加上k+1k+1k+1位置的数，然后除2即可达到。（注意：如果k求出是X数组的最后一位，那么高中位数在数组Y中）。