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在前面的文章中，我们依次介绍了好几个欧拉定理，一直到上篇讲到欧拉公式，相关内容请戳：

扒一扒那些叫欧拉的定理们（八）——欧拉公式和自然对数的底e

扒一扒那些叫欧拉的定理们（七）——欧拉线定理的证明

扒一扒那些叫欧拉的定理们（六）——九点圆定理的证明

扒一扒那些叫欧拉的定理们（五）——平面几何欧拉定理的证明

扒一扒那些叫欧拉的定理们（四）——平面几何欧拉定理美学鉴赏

扒一扒那些叫欧拉的定理们（三）——简单多面体欧拉定理的抽象形式

扒一扒那些叫欧拉的定理们（二）——简单多面体欧拉定理的证明

扒一扒那些叫欧拉的定理们（一）——基本介绍和简单多面体欧拉定理

我说过，数学是个思维的学科，靠死记硬背是不可能搞得定的，你能背得下来所有三位数加减乘除的结果吗？而如果理解力没到那个点上，都认识的字，但就是想不通为什么，也想不通干嘛要这么来。欧拉公式看似简单，背后的逻辑可是大有说法。接下来，我们从群论的观点，来理解一下，欧拉公式到底意味着什么。

这里再重写一遍欧拉公式：

e ^ ix = cosx + isinx，对任意复数x成立。

接下来，我们为用群的观点理解欧拉公式，给大家介绍直线的两个对称群及其关系，在下一篇中，我们再具体讲解它和欧拉公式的联系。

直线的两个对称群

群是一个集合加上集合上的具有封闭性，结合律的二元运算构成的数学结构，还得有幺元和逆元。这里我就不抄一遍定义了，直接说下该怎么理解。其实，对任何一个对象，我们都可以构造出一个操作集合，这个集合内的所有操作都对这个对象有某性质上的对称性，也就是操作前后不改变。比如一个正方形，你可以旋转90度若干次，还可以翻转，看上去都是个正方形，虽然实际上原来的每个点已经在不同的位置了，如果有朝向的话也可能发生了变化。而这里的二元运算，本质上仅仅表示两个操作的依次连接，或者就是个函数的复合罢了。这样来看，其结合律：a + b + c = a + (b + c)，的意思其实是：f_c(f_b(f_a(x))) = f_(b+c)(f_a(x))，而这显然是成立的。

此时，我们可以以全新的视角来重新审视一下我们学过的加减法和乘除法。以前我们学的加法，是指的数量多少的合并规律，乘法只是加法的简便运算，减法和除法是对应逆运算。那么，我们可以从对称和操作的角度，重构一下我们的运算。现在想象一条直线，显然，无论怎么平移，因为其无限延伸性，它依然是一条直线，也就是说，直线这个对象，关于平移操作对称的，这个对称群称为直线（平移）对称群（group of line symmetry）。那为了描述清楚这个群，我们给它加上坐标，摇身一变变成数轴（就像研究二面体群对称性的时候，给各条边涂上不同颜色来标识一样），然后再添加一个一模一样的作为坐标系的基准轴，这样就可以清晰地看到这条直线的移动情况了。

我们规定，+x操作，把数轴上的原点0移动到的位置x，比如+3操作就是往右移动3个单位，其原点0移动到了3的位置，再+5就是移动到了8的位置，整个也表示+8这个操作。0则是幺元表示不动，“-”则表示反向移动。注意，这里直线上的元素和从幺元到达它的操作是一一对应的。

不仅仅一条直线可以这么玩，多条平行线，或者其他虚构的对象，也可以遵循以上规律来操作，满足同样的规律一，我们统称为实数加法群（additive group of real numbers），对应到直线上，就是关于左右平移这个具体操作的群了。

除了平移不改变直线对象以外，还有一种显然的操作也不变，那就是拉伸和压缩，我们可以把直线想象成一个不考虑粗细的无限长的橡皮筋。我们以原点为拉伸的不动点，* x操作表示把原来的单位点1拉伸或压缩到x位置上去（x > 1叫拉伸，x < 1叫压缩，x = 1不动），于是同样的，可以先拉伸 * 4，再压缩 * 1 / 2这样子的复合。对于直线来说，这个结构称为直线拉伸压缩群（group of stretching and squishing），完全抽象出来，就叫正实数乘法群（multiplicative group of positive numbers）。

直线对称群的同构

好了，就算可以这么奇怪地来理解加法和乘法吧，那他们之间有怎样的关系呢？我们想，如果能找到一个两个群内集合的映射，它能够保持群的结构（preserve group structure），即对任意的x, y in G，和G上的函数f，映射为H内的元素，有f(x +G y) = f(x) +H f(y)，我们称为这两个群是同态的(Homomorphism)。这里的这个f很关键，如果找到了，就很容易说明这个性质结论。在上面的实数加法群和正实数乘法群中，这个描述他们同态的函数不是别的，正是我们的指数函数：

n ^ (x + y) = n ^ x * n ^ y

这个式子在最原始定义的时候，指数必须是整数，表示的是乘法数值运算的简便运算，但是你还记得我们是怎么把指数扩展到有理数，负数等情况的吗？这里其实是数学人定义问题的一个常见思路，即我们在扩展定义的时候，通常希望能够保持其原始性质（quality preserve）。在指数这里也就是上面的公式。比如，我们有：

2 ^ 2 = 2 ^ (2 + 0) = 2 ^ 2 * 2 ^ 0

借鸡下蛋一般地，我们得到了n ^ 0 = 1的结论，其实是只有这个成立，才能保住当指数为0时候指数运算公式的性质，我们本来是不知道n ^ 0到底是什么意思的，是得等于1我们的指数函数计算公式才能扩展到0。又有

2 ^ 1 = 2 ^ (1 / 2 +1 / 2) = 2 ^ (1 / 2) * 2 ^ (1 / 2)

由此拓展而来，我们可以得到平方根以及n次方根，也就是形如1 / n形式的指数定义，再复合上整数的指数，就定义了所有正有理数的指数定义了。同样，不是说这些性质一定成立，而是只有成立，指数计算公式才能才更宽的范围内成立。

还有，1 = 2 ^ 0 = 2 ^ (1 - 1) = 2 ^ 1 * 2 ^ - 1，如法炮制，我们为了能让指数公式扩展到负数，定义了负数指数幂等于其绝对值对应正指数幂的倒数。

而对于无理数，因为可以用有理数无限逼近，因此加上极限以后，也可以纳入指数的取值范围了，到此整个实数都被纳入指数运算的取值并且保持了运算性质。

正是因为这样的定义，上述基于左右平移和拉伸压缩的直线对称群刚刚好可以用这样定义的指数函数构造出保持结构的映射，因此这两个群是同态的，背后的实数加法群和正实数乘法群也是同态的，又这个映射是个双射，因此他们相互同态，是同构的（isomorphism）。

基于此，我们还可以证明正实数和实数的数量相同，因为可以通过指数函数构建他们的一一对应。

大家可能发现了，能构造这个映射的指数函数的底可以是除了1以外的任意正数。那我们所谓自然对数的底e作为底数的时候，又有什么特殊之处呢？

不要走开，下一篇我们接着讲。

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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