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在前面的文章中，我们介绍和证明了简单多面体欧拉定理，相关内容请戳：

扒一扒那些叫欧拉的定理们（二）——简单多面体欧拉定理的证明

扒一扒那些叫欧拉的定理们（一）——基本介绍和简单多面体欧拉定理

今天我们来看看简单多面体欧拉定理的两种抽象形式。

我们在我们生活的三维空间里，是直觉理解得了，也看得见，摸得着的，这是生活中的数学。但是数学家们从来都不满足于这个形式，有0必有1，有1必有n，有n则要推演到无穷看看，然后再聊等势，密度等问题。接下来，我们从两个方向，来看看，欧拉定理的背后，还有哪些数学思想和逻辑值得我们学习。

n维空间的欧拉定理

对于n维空间中的简单多面体，其零维对象数（即顶点数）D0、一维对象数（即边数）D1、二维对象数（即面数）D2、三维对象数（即体数）D3、……、n维对象数Dn，我们有：

sum(i in 1: n)((- 1)^ i * Di) = 1

那么上面说的简单多面体的欧拉定理，其实就是n = 3时候的特例，即：

V - E + F - S = 1

我们是一个多面体，因此，S = 1，于是有：

V - E + F = 2

这就是数学里经常的拓展套路，有1必有2，有2必有n，现实中没有n维空间，但是n维空间的抽象对象是无处不在的。比如，一次搜索应该把哪个文档排在最前面，其特征可能交叉以后都是上千上万维的。

其实啊，sum(i in 1: n)((- 1)^ i * Di)有个名字，叫做欧拉示性函数，对于有限CW-复形（CW-Complex）包括有限单纯复形（simplicial complex）成立，这里的Di即i维胞腔的个数。实际上，欧拉示性函数是一个经典的拓扑不变量，也就是同构（对象间存在保持结构的双射）的拓扑空间相同的內禀性质，他不随着拉伸，弯曲，扭结等操作而改变，就像咖啡杯和甜甜圈也同构一样。

这个定理的证明，我们暂时略去，需要用到比较深的拓扑学知识，这里暂时不展开了。

图论欧拉定理

三维空间里点线面除了可以朝着更高维抽象以外，还有一个角度就是把它看作抽象的图里的顶点，边和圈。这样，就把一个具体的图的空间实例结论，抽象成了一组图论里的恒等关系。图论欧拉定理描述如下：

一个联通平面图G，有V个顶点，E条边，F个个圈组成的面，我们有：

V - E + F = 2

怎么样？是不是和简单多面体欧拉定理长得一模一样？只是这里的字母表达的物理意义会更加抽象而已，本质上就是类与实例的关系。

其证明和上面简单多面体欧拉定理使用归约方法的证明一模一样，归约的对象改成抽象的点，边和圈就行，这里就不再赘述了。

不过，这个证明有个前提，就是得是个平面图，粗浅理解看，这个平面图应该就对应的是一个空间多面体投影下来的图。而平面图的具体定义为：

平面图是可以画在平面上，并使得不同边可以互不交叠的图。

也就是说，它作为抽象的图，对能否画在平面上成为具象的图提出了要求。比如K5的完全图就不是平面图，K3,3的二分图（又叫汤玛森图）也不是平面图，这两个是最小的非平面图：

图1 K5完全图

图2 K3, 3二分图

而K4就是平面图，不要以为好像对角线会交叉，实际上直接把它画外面来就可以了：

图3 K4完全图

而K5和K3,3其实就是所有是否是平面图的判断基准了，有：库拉托夫斯基定理：

一个简单图是平面图当且仅当它并不包含一个是 K5 或 K3,3 的分割的子图。

用图的同胚理论来说，就是一个有限图是平面图当且仅当这个图不包含任何同胚于K5或K3,3的子图。

另外，华格纳定理从另一个归约的角度，阐明了平面图的结构：

一个简单图是平面图当且仅当它不是 K5 或 K3,3 的次图。

其中，一个图的次图是将它做有限多次的取子图(删除部分顶点和边)和做边收缩(将某边缩成一个顶点)所得到的图。这里的边收缩其实就是我们前面证明简单多面体欧拉定理时用到的顶点归约时候的那个操作。

因为凸多面体可以借由施莱格尔图的投影方式投影至平面形成一个连通的简单平面图，而施莱格尔投影是透视投影，他的透视中心可以选在凸多面体的任一一个面上的点。因此凸多面体的欧拉定理和图论欧拉定理就这样联系起来了。但并不是所有的连通简单平面图都是凸多面体的投影，例如树即为反例。斯坦尼茨定理表明一个图是个凸多面体的施莱格尔图当且仅当它是3-连通的简单平面图。可见，平面图是一个凸多面体投影图的超集，这个定理再一次抽象到了更广的应用范围。

空间欧拉定理总结

以上就是从简单多面体的欧拉定理到其n维空间形式以及图论中的抽象形式的全部内容，无论是定理结论本身，还是中间涉及到的数学思想方法，都值得我们去深深回味，主要有：

1. 简单多面体欧拉定理给出了三维空间内的简单多面体的点线面关系；

2. 证明简单多面体欧拉定理的数学归纳法所用的归约思想；

3. 证明简单多面体欧拉定理角度方法所用的恒等思想；

4. 将空间凸多面体的要素和其投影得到的要素对应来证明简单多面体欧拉定理以及联系图论欧拉定理和简单多面体欧拉定理所用到的一一对应思想；、

5. 拓展到n维空间以及抽象图的抽象思维；

6. 引入拓扑学相关思想，我们可以试着关注那些同胚的对象，其对于拉伸，弯曲，扭结等连续形变保持性质不变；

7. 欧拉示性函数成为多面体分类的拓扑学指标。比如普通简单多面体为欧拉示性函数值为2，同胚于一个球；而比如讲正方体挖空一个洞，其示性函数为0，和甜甜圈是同胚的，却不再能连续形变变成一个球体。

好了，关于立体几何语境下的欧拉定理极其抽象拓展就介绍到这里。接着我们变换一下视角，来看下一个小而美的欧拉定理——平面几何欧拉定理。尽请期待。

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MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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