Leetcode:799. 香槟塔

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中第一层有1个玻璃杯，第二层有2个，依次类推到第100层，每个玻璃杯(250ml)将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（i 和 j都从0开始）。

示例 1:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.0
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。示例 2:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.5
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

注意:

poured 的范围[0, 10 ^ 9]。
query_glass 和query_row 的范围 [0, 99]。

在真实的面试中遇到过这道题？

解题思路：

模拟题。先将总数为sum的香槟放入最顶上的杯子，也就是数组下标为[0][0]的地方复制为sum。假设dp[i][j]为数组下标为[i][j]获得的香槟总数,dp[0][0]=sum。

除dp[0][0]以外，所有值均为0.
如果sum>1，那么剩余的香槟必然溢出到下一层的[i+1][j]和[i+1][j+1]两个位置。
根据题意，等流量的条件，dp[i+1][j]+=(dp[i][j]-1)*0.5，dp[i+1][j+1]+=(dp[i][j]-1)*0.5。
迭代100次必然可以算出所有杯子的状态。

优化：

由于规模仅有100，所以2维数组也是可以的，因为每次只用到上一层的数据，所以可以简化为一维数组。
由于题目仅仅需要计算一个位置的状态，可以计算到该层后结束计算，不必每次都计算100层。
可能在某次计算之后，当前层不会发生溢出状态，则下面的全部是0，不必继续迭代。

C++代码
//未经优化的代码 class Solution { public: double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) { double all = poured; double res[100][100] = { 0.0 }; res[0][0] = all; int i, j; for (i = 1; i <= 100; i++) { for (j = 1; j <= i; j++) { if (res[i - 1][j - 1] > 1) { if (i < 100) { res[i][j - 1] += (res[i - 1][j - 1] - 1) / 2; res[i][j]+= (res[i - 1][j - 1] - 1) / 2; } res[i - 1][j - 1] = 1; } } } return res[query_row][query_glass]; } };

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