图解LeetCode——799. 香槟塔(难度:中等)
一、题目
我们把玻璃杯摆成金字塔的形状,其中 第一层 有 1
个玻璃杯, 第二层 有 2
个,依次类推到第 100 层,每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。
从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟,当顶层的杯子满了,任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了,就会等流量的流向它们左右两边的杯子,依次类推。(当最底层的玻璃杯满了,香槟会流到地板上)
【例如】在倾倒一杯香槟后,最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后,第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后,第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后,第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟,他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟,如下图所示。
现在当倾倒了非负整数杯香槟后,返回第 i
行 j
个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例( i
和 j
都从0开始)。
二、示例
2.1> 示例 1:
【输入】 poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
【输出】 0.00000
【解释】 我们在顶层(下标是(0,0))倒了一杯香槟后,没有溢出,因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。
2.2> 示例 2:
【输入】 poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
【输出】 0.50000
【解释】 我们在顶层(下标是(0,0)倒了两杯香槟后,有一杯量的香槟将从顶层溢出,位于(1,0)的玻璃杯和(1,1)的玻璃杯平分了这一杯香槟,所以每个玻璃杯有一半的香槟。
2.3> 示例 3:
【输入】 poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
【输出】 1.00000
提示:
0
<= poured <=10^9
0
<= query_glass <= query_row <100
三、解题思路
4.1> 采用二维dp[][]计算
我们创建一个二维数组dp[i][j],其中,i表示行号,j表示酒杯编号。
根据题目描述,我们可以知道,针对于第row
行第column
列(dp[row][column]
)的这个酒杯,有机会能够注入到它的“上层”酒杯只会是dp[row-1][column-1]
和dp[row-1][column]
,那么这里是“有机会”,因为只有这两个酒杯都满了(减1)的情况下,才会注入到dp[row][column]
这个酒杯中,所以,我们可以得到状态转移方程为:
dp[row][column] = Math.max(dp[row - 1][column - 1] - 1, 0) / 2 + Math.max(dp[row - 1][column] - 1, 0) / 2。
那么我们从第一行开始计算,逐一可以计算出每一行中每一个酒杯的容量,那么题目的结果就显而易见了。具体操作,如下图所示:
4.2> 采用一维dp[]计算
由于题目只需要获取第query_row行的第query_glass编号的酒杯容量,那么我们其实只需要关注第query_row行的酒杯容量即可,所以,用一维数组dp[]来保存最新计算的那个行中每个酒杯的容量。
计算方式与上面的解法相似,此处就不赘述了。
四、代码实现
4.1> 采用二维dp[][]计算
class Solution {public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {double[][] dp = new double[query_row + 2][query_row + 2];dp[1][1] = poured; // 为了方式越界,下标(0,0)的酒杯我们存放在dp[1][1]的位置上for (int row = 2; row <= query_row + 1; row++) {for (int column = 1; column <= row; column++) {dp[row][column] = Math.max(dp[row - 1][column - 1] - 1, 0) / 2 + Math.max(dp[row - 1][column] - 1, 0) / 2;}}return Math.min(dp[query_row + 1][query_glass + 1], 1);}
}
4.2> 采用一维dp[]计算
class Solution {public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {double[] dp = new double[query_glass + 2]; // 第i层中每个glass的容量dp[0] = poured; // 第0层的第0个编号酒杯倾倒香槟容量int row = 0;while (row < query_row) { // 获取第query_row行,只需要遍历到第query_row减1行即可。for (int glass = Math.min(row, query_glass); glass >= 0; glass--) { double overflow = Math.max(dp[glass] - 1, 0) / 2.0;dp[glass] = overflow; // 覆盖掉旧值dp[glass + 1] += overflow; // 由于是倒序遍历,所以对于dp[glass + 1]要执行“+=”操作}row++; // 计算下一行}return Math.min(dp[query_glass], 1); // 如果倾倒香槟容量大于1,则只返回1.}
}
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