相机平面与工作平面带夹角下的坐标换算

如上图，我们假设A平面为相机平面，B平面为工作平面。对于带相机定位的机械设备，我们需要通过相机图像上定位到的像素坐标a $(x,y)$ ，映射到工作平面的机械坐标系下的b $(x',y')$ 。现再假设我们知道相机的实际毫米像素比。则 $\left | a \right |$ 的尺寸就是实际的机械坐标系下的尺寸。

我们令 $_{}^{A}\textrm{a}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ , $_{}^{B}\textrm{b}=\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 。 $_{}^{A}\textrm{a}$ 的上标表示其坐标是在A平面为XY基平面的坐标系下的坐标。同理理解 $_{}^{B}\textrm{b}$ 。

则，我们可以通过一个变换矩阵将 $_{}^{A}\textrm{a}$ 转换到 $_{}^{B}\textrm{b}$ 。设这个变换矩阵为 $T$ ,则有:

$_{}^{B}\textrm{b}=T_{}^{A}\textrm{a}$

$T=\begin{pmatrix} t_{11} &t_{12} &t_{13} &t_{14} \\ t_{21}&t_{22} &t_{23} &t_{24} \\ t_{31}&t_{32} &t_{33} &t_{34} \\ 0&0 &0 &1 \end{pmatrix}$

由于 $_{}^{A}\textrm{a}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ， $_{}^{B}\textrm{b}=\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 的元素3恒为零，所以我们可以不用顾及T的3行和3列的数值。T可以进一步缩小为 $T'=\begin{pmatrix} t_{11} &t_{12} &t_{14} \\ t_{21} &t_{22} &t_{24} \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}$ 。我们在平面A中取三个线性不相关的点 $_{}^{A}\textrm{a1}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ 1 \end{pmatrix}$ , $_{}^{A}\textrm{a2}=\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ 1 \end{pmatrix}$ , $_{}^{A}\textrm{a3}=\begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ 1 \end{pmatrix}$ ,组成一个矩阵 $A=\begin{pmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} \\ 1& 1 &1 \end{pmatrix}$ ,同样映射到B平面得到矩阵 $B=\begin{pmatrix} x'_{1} &x'_{2} &x'_{3} \\ y'_{1}&y'_{2} &y'_{3} \\ 1&1 &1 \end{pmatrix}$ 。因此我们可以通过求 $A_{}^{-1}$ 得到 $T'$ ：

$BA_{}^{-1}=T'$

在这里我们要求 $A_{}^{-1}$ ,我们可以通过求A的特征值和特征向量来求取 $A_{}^{-1}$ 。

再仔细研究下 $T$ ,我们可以发现， $_{}^{A}\textrm{a}$ 可以先通过将A平面旋转到与B平面重合后，得到 $_{}^{B}\textrm{a}$ ,然后通过平移得到 $_{}^{B}\textrm{b}$ 。将T按上述步骤展开，我们有：

$T=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &f(x,y)\bar{x}_{AB}\\ 0& 1 &0 &f(x,y)\bar{y}_{AB} \\ 0& 0 &1 &f(x,y)\bar{z}_{AB}\\ 0& 0 &0 &1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} &c_{14} \\ c_{21} &c_{22} &c_{23} &c_{24} \\ c_{31}&c_{32} &c_{33} &c_{34} \\ 0& 0 & 0 &1 \end{pmatrix}$

其中， $\begin{pmatrix} \bar{x}_{AB}\\ \bar{y}_{AB}\\ \bar{z}_{AB}\\ 1 \end{pmatrix}$ 构成了A平面的法向量 $\bar{n}$ ，指向B平面。 $f(x,y)$ 为 $_{}^{B}\textrm{a}$ 平移到 $_{}^{B}\textrm{b}$ 所要的向量数值。 $\begin{pmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} &c_{14} \\ c_{21} &c_{22} &c_{23} &c_{24} \\ c_{31}&c_{32} &c_{33} &c_{34} \\ 0& 0 & 0 &1 \end{pmatrix}$ 为A平面到B平面的变换矩阵。具体直观可参看下图。

我们有 $\left | f(x,y) \right |=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}-x^{2}-y^{2}}$ ，其符号视情况而定。又由于 $\bar{n}$ 始终垂直于A平面， $\bar{n}$ 的投影始终在b上，所以可以得到 $\bar{x}_{AB}=\frac{x'}{\left | _{}^{B}\textrm{b}\right |}$ , $\bar{y}_{AB}=\frac{y'}{\left | _{}^{B}\textrm{b} \right |}$ ,而 $\left | \bar{z}_{AB} \right |=\sqrt{1-\bar{x}_{AB}^{2}-\bar{y}_{AB}^{2}}$ ,其符号视情况而定。

前面我们有:

$_{}^{B}\textrm{b}=T_{}^{A}\textrm{a}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &f(x,y)\bar{x}_{AB} \\ 0& 1 & 0 &f(x,y)\bar{y}_{AB} \\ 0& 0 &1 &f(x,y)\bar{z}_{AB} \\ 0& 0 &0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_{11}&c_{12} &c_{13} &c_{14} \\ c_{21}&c_{22} &c_{23} &c_{24} \\ c_{31}&c_{32} &c_{33} &c_{34} \\ 0& 0 &0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

因此我们可以通过变换得到 $_{}^{B}\textrm{a}$

$_{}^{B}\textrm{a}=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &-f(x,y)\bar{x}_{AB} \\ 0&1 &0 &-f(x,y)\bar{y}_{AB} \\ 0& 0 &1 &-f(x,y)\bar{z}_{AB} \\ 0& 0 & 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} &c_{14} \\ c_{21}&c_{22} &c_{23} &c_{24} \\ c_{31}&c_{32} &c_{33} &c_{34} \\ 0& 0 &0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

从上述变换，我们再根据最开始所述的，由于最右边 $_{}^{A}\textrm{a}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 的第三个元素恒为零,我们可以将上式缩减一下:

$\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &-f(x,y)\bar{x}_{AB} \\ 0&1 &0 & -f(x,y)\bar{y}_{AB}\\ 0& 0 &1 &-f(x,y)\bar{z}_{AB} \\ 0&0 &0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} &c_{14} \\ c_{21}&c_{22} &c_{24} \\ c_{31}& c_{32} &c_{34} \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}$

同时，在A平面内取三个线性不相关的变量 $\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ 1 \end{pmatrix}$ ,我们有：

$\begin{pmatrix} x'_{1}+[-f(x_{1},y_{1})\bar{x}_{AB}] &x'_{2}+[-f(x_{2},y_{2})\bar{x}_{AB}] & x'_{3}+[-f(x_{3},y_{3})\bar{x}_{AB}]\\ y'_{1}+[-f(x_{1},y_{1})\bar{y}_{AB}]&y'_{2}+[-f(x_{2},y_{2})\bar{y}_{AB}] &y'_{3}+[-f(x_{3},y_{3})\bar{y}_{AB}] \\ -f(x_{1},y_{1})\bar{z}_{AB}& -f(x_{2},y_{2})\bar{z}_{AB} &-f(x_{3},y_{3})\bar{z}_{AB} \\ 1& 1 & 1 \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{14} \\ c_{21}&c_{22} &c_{24} \\ c_{31}&c_{32} &c_{34} \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} \\ 1& 1 &1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{14} \\ c_{21}&c_{22} &c_{24} \\ c_{31}&c_{32} &c_{34} \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x'_{1}+[-f(x_{1},y_{1})\bar{x}_{AB}] &x'_{2}+[-f(x_{2},y_{2})\bar{x}_{AB}] &x'_{3}+[-f(x_{3},y_{3})\bar{x}_{AB}] \\ y'_{1}+[-f(x_{1},y_{1})\bar{y}_{AB}]& y'_{2}+[-f(x_{2},y_{2})\bar{y}_{AB}]& y'_{3}+[-f(x_{3},y_{3})\bar{y}_{AB}]\\ -f(x_{1},y_{1})\bar{z}_{AB}&-f(x_{2},y_{2})\bar{z}_{AB} & -f(x_{3},y_{3})\bar{z}_{AB}\\ 1& 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}&x_{2} &x_{3} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} \\ 1& 1 &1 \end{pmatrix}^{-1}$

知道了 $\begin{pmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{14} \\ c_{21}&c_{22} &c_{24} \\ c_{31}&c_{32} &c_{34} \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}$ ,接下来我们只要确定方程 $f(x,y)$ ,就可以在A平面内任意取一点 $_{}^{A}\textrm{a}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 而算出 $_{}^{B}\textrm{b}=\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 。

我们可以确定 $f(x,y)$ 为一个平面方程，设 $f(x,y)=\alpha x+\beta y+\gamma$ 。可以确定的是 $\gamma =0$ 。我们取点 $\left ( x,0 \right )$ , $x>0$ 。同时人为的，根据实际情况确定 $f(x,y)$ 的符号。由于 $\left | f(x,y) \right |=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 。则 $\alpha =\pm \frac{\left | f(x,y) \right |}{x}$ , $\alpha$ 的符号由 $f(x,y)$ 决定。

同理，我们可以得到 $\beta =\pm \frac{\left | f(x,y) \right |}{y}$ , $\beta$ 的符号由 $f(x,y)$ 决定。

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