信号与系统公式笔记（5）
重点内容
1.狄利克雷条件
2.Gibbs现象
3.傅里叶变换和傅里叶逆变换公式
周期矩形脉冲信号
对这个矩形脉冲信号进行积分就可以求到它对应的傅里叶系数
了解一下记得结果就可以了。
补充：Sa(nω1τ2)Sa(nω1τ2)Sa(n\omega_1 \frac{\tau}{2})是离散的，只是包络线看起来像是下面这样。
实际上像下面这样
有这些性质要注意：
1.第一个零点坐标：2πτ2πτ\frac{2\pi}{\tau}（令ωτ2=π→ω=2πτωτ2=π→ω=2πτ\frac{\omega \tau}{2} = \pi \rightarrow \omega = \frac{2\pi}{\tau}）
2.F(nω1)F(nω1)F(n\omega_1)是复函数，幅度/相位
Fn>0Fn>0F_n > 0，相位为0，Fn<0Fn<0F_n ，相位为±π±π\pm \pi。（我是直接想象成一种类似复指数的那种图形，在负数的时候复指数的初相就相当于在±π±π\pm \pi的位置）
取样信号的零点坐标只与脉冲函数的持续时间有关，而与脉冲函数的周期无关。
上面图里面的两条谱线之间的距离是ω1=2πTω1=2πT\omega_1 = \frac{2\pi}{T}，如果TTT趋于无穷大，信号会变成非周期信号，那么两条谱线之间的距离会变成无穷小，所以非周期信号的傅里叶谱线会直接变成连续的曲数，而不是像现在这样的离散的曲数。
上图函数的特点：
因为都比较好理解所以直接截图了，懒得特别去记。
补充：上面的EτT1" role="presentation">EτT1EτT1\frac{E\tau}{T_1}其实就是上上图的谱线的幅度。
频带宽度
定义：在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，这段频率范围就是频带宽度。
一般用第一个零点作为频带宽度（因为这里集中了信号的大部分能量），记为：Bω=2πτBω=2πτB_\omega = \frac{2\pi}{\tau}（其实就是第一个零点的坐标）或Bf=1τBf=1τB_f = \frac{1}{\tau}（其实就是除了个2π2π2\pi），带宽与脉宽（ττ\tau）成反比（脉宽太短，那么带宽就会越大，所以通信速率不能无限提高，而要保证信号不失真，就要保证系统的通频带>>>信号的带宽，有点类似模电里面的放大电路）。
周期信号必须要满足一定的（两组）条件才能够表示成傅里叶级数。
首先是平方可积条件：
如果∫T0|x(t)|2dt<∞" role="presentation">∫T0|x(t)|2dt<∞∫T0|x(t)|2dt<∞\int_{T_0}|x(t)|^2\mathrm{d}t 则akaka_k必存在。因为Qx(t)Qx(t)\mathrm{Q}x(t)，所以一定存在。（其实证明下面的绝对可积就可以了，因为绝对可积要求更加苛刻）
然后主要是狄利克雷条件：
1.∫T0|x(t)|dt<∞∫T0|x(t)|dt<∞\int_{T_0}|x(t)|\mathrm{d}t ，在任何周期内信号绝对可积（比平方可积条件更加苛刻，所以只要证明绝对可积就可以了）。
因为
|a_k| \leq \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_0 t}|\mathrm{d}t = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|\mathrm{d}t
这样就可以保证 akaka_k存在（这个条件往往最苛刻，因为 eat在eat在e^{at}在a > 0$的时候会直接趋于无穷，很多常见信号直接就不能做傅里叶变换了。这个条件存在而让可以用傅里叶变换的地方大大减少）
2.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值
例如下面这两个信号就不能傅里叶变换
3.在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点（就是可去间断点）
Gibbs现象
当满足狄利克雷条件的信号x(t)x(t)x(t)，当傅里叶级数逼近间断点的时候，如何收敛于x(t)x(t)x(t)？
在间断点处的跳变值约等于跳跃间断点的值的0.90.90.9（且跳变值不会因为取得项越多而减少，而是趋于前面那样算出来的值）。
在实际应用中，只会用傅里叶级数的N个项，所以会出现误差（eN(t)=x(t)−xN(t)eN(t)=x(t)−xN(t)e_N(t) = x(t) - x_N(t)），然后就可以得出均方误差（下面这个图，了解就可以了）。
在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。
傅里叶级数到傅里叶变换
周期T0T0T_0增大时，频谱的幅度会下降，而谱线间隔减小（看上面周期矩形脉冲信号对应的频谱图就知道了），但是包络不变。
然后是为什么T→∞T→∞T \rightarrow \infty时频谱会变成连续的：
不用强记，理解就行
上面的推导过程补充：
因为akaka_k在T0→∞T0→∞T_0 \rightarrow \infty时会直接变成无穷大，所以要乘T0T0T_0变成akT0akT0a_kT_0来考虑。
继续推导出傅里叶变换和傅里叶逆变换
记不住推导公式没关系，重要的是记住这两个公式：
\mathrm{傅里叶变换}\quad X(\mathrm{j}\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\ \mathrm{傅里叶逆变换}\quad x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega
傅里叶变换用来把信号从时域转到频域，而傅里叶逆变换就是直接反过来把频域转到时域。
上面的东西实在记不住只要记住X(jω)X(jω)X(\mathrm{j}\omega)是频谱密度函数和那几个公式就行了额，其他的不用管。
一个结论：周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络（还是那个矩形脉冲信号当例子，周期信号的例子就是还是上面那样，非周期信号的例子就是对应的T→∞T→∞T\rightarrow \infty时的例子）。
傅里叶变化你的收敛
傅里叶变换的收敛条件和傅里叶级数的收敛条件一样，要两组条件：
1.若∫∞−∞|x(t)|2dt<∞∫−∞∞|x(t)|2dt<∞\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\mathrm{d}t 则X(jω)X(jω)X(\mathrm{j}\omega)存在，所以所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在（就是能量信号都有傅里叶变换）。
2.狄利克雷条件
a.∫T0|x(t)|dt<∞∫T0|x(t)|dt<∞\int_{T_0}|x(t)|\mathrm{d}t ，在任何周期内信号绝对可积（比平方可积条件更加苛刻，所以还是只要证明绝对可积就可以了）。
b.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值
c.在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点（就是可去间断点）
注意：这些条件只是变换存在的充分条件。
且这两组条件不等价，例如sinttsintt\frac{\sin t}{t}平方可积，但是不绝对可积。
和周期信号情况一样，当x(t)x(t)x(t)的傅里叶变换存在时，其傅里叶变换在x(t)x(t)x(t)的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现象。
常用信号的傅里叶变换
所以冲激函数频谱不满足收敛性，而且可以把信号给分解了（主要是用在求冲激响应那里，冲激响应可以用来和输入信号进行卷积，来求出方程在某些输入信号下对应产生的输出）。
其实就是门函数。
然后就可以得到下面这个结论：
上面图里面的T0T0T_0就是周期信号的周期。记住：门的频谱就是取样函数（强度就是门函数的面积，例如2π2π2\pi，上图上面那种就是对应着2T1Sa(T1ω)2T1Sa(T1ω)2T_1\mathrm{Sa}(T_1\omega)）。
记住这个结论（补充：刚好取样信号对应过去的门的幅度是2T1T1−(−T1)2T1T1−(−T1)\frac{2T_1}{T_1 - (-T_1)}）。
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