信号与系统公式笔记（4）

截图基本上都是来自b站av5868266，齐开悦博士的讲义。
之前的笔记（第二章）重要的是两点：微分方程和卷积（微分方程要理解好，卷积熟练会用就行）。

这次主要是关于连续信号的傅里叶分析（教材里面有三大变换：傅里叶、拉普拉斯、Z，拉普拉斯其实是连续傅里叶的推广，Z其实是离散傅里叶变换的推广。重点还是三大变换）。

重点内容：

连续时间周期信号的傅里叶级数
连续时间建立傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系
傅里叶变换的性质
系统的频率响应及系统的频域分析
采样（抽样）及采样（抽样）处理
计算傅里叶系数的公式

这一章要解决的问题：对非周期信号应该如何进行分解、什么是非周期信号的频谱表示

傅里叶变换的思想：
1. 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和
2. 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示

成谐波关系的复指数信号集： ϕk(t)=ejkω0t ϕ k ( t ) = e j k ω 0 t \phi_k(t) = \mathrm{e}^{jk\omega_0t}，这些信号的公共周期是 2π|ω0| 2 π | ω 0 | \frac{2\pi}{|\omega_0|}。
将所有信号线性组合（类似上面的思想）：

x(t)=∑k=−∞∞akejkω0t x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e j k ω 0 t

x(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty}a_k\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_0t}

其实上面这个就是傅里叶级数， ak a k a_k就是傅里叶级数的系数。
可以总结成：连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数的谐波分量。

傅里叶级数的系数 ak a k a_k就是信号分量的幅度，所以可以用这些幅度画成频谱。
频谱图：

补充个欧拉公式：

ejωt=cosωt+jsinωt e j ω t = cos ⁡ ω t + j sin ⁡ ω t

\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} = \cos{\omega t} + \mathrm{j}\sin{\omega t}

经常用这个公式在复指数和三角函数之间转换，所以必须要记。

三角函数集：
cos(nω1t),sin(nω1t) cos ⁡ ( n ω 1 t ) , sin ⁡ ( n ω 1 t ) \cos(n\omega_1t), \sin(n\omega_1t)是完备的正交函数集，具体的证明可以看教材，其实就是几个三角函数相乘，然后在一个周期内积分的证明（因为是正交的，所以积分结果为0）。

完备正交函数集指的是除了花括号里面括起来的那一对以外，集合里面没有别的函数能与这一对正交（ n n n可以取任意整数）。

在满足狄氏条件的前提下可以将指数级数展开成三角形式（记公式）。
公式：

f(t)=a0+∑n=1∞[ancos⁡(nω1t)+bnsin⁡(nω1t)]" role="presentation">f(t)=a0+∑n=1∞[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]f(t)=a0+∑n=1∞[ancos⁡(nω1t)+bnsin⁡(nω1t)]

f(t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}[a_n\cos(n\omega_1 t) + b_n\sin{(n\omega_1t)}]
上面的系数用下面的公式求出来
直流分量

a0=1T∫t0+Tt0f(t)dt a 0 = 1 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) d t

a_0 = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)\mathrm{d}t
余弦分量的幅度

an=2T∫t0+Tt0f(t)cos(nω1t)dt a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t

a_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\omega_1t)\mathrm{d}t
正弦分量的幅度

bn=2T∫t0+Tt0f(t)sin(nω1t)dt b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) sin ⁡ ( n ω 1 t ) d t

b_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin(n\omega_1t)\mathrm{d}t
补充一下，上面式子里面的 2T 2 T \frac{2}{T}其实就是 ∫t+Ttsinmω1sinnω1tdt=T2,m=n≠0 ∫ t t + T sin ⁡ m ω 1 sin ⁡ n ω 1 t d t = T 2 , m = n ≠ 0 \int_{t}^{t + T}\sin{m\omega_1}\sin{n\omega_1 t}\mathrm{d}t = \frac{T}{2}, \quad m = n\neq0，下面的复指数公式里面出现的 1T 1 T \frac{1}{T}其实也差不多
例题：齐开悦博士第三章课件例1

其他形式：
用公式直接转化成只有正弦或者余弦表达的形式
用到的公式
余弦形式：

f(t)=c0+∑n=1∞cncos(nω1t+φn) f ( t ) = c 0 + ∑ n = 1 ∞ c n cos ⁡ ( n ω 1 t + φ n )

f(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}c_n\cos(n\omega_1 t + \varphi_n)
里面的系数可以用下面公式求

c0=a0cn=a2n+b2n−−−−−−√φn=arctan(−bnan) c 0 = a 0 c n = a n 2 + b n 2 φ n = arctan ⁡ ( − b n a n )

c_0 = a_0\quad c_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\quad \varphi_n = \arctan(\frac{-b_n}{a_n})
可以联想成三角形来记
反过来

an=cncosφnbn=−cnsinφn a n = c n cos ⁡ φ n b n = − c n sin ⁡ φ n

a_n = c_n\cos\varphi_n \quad b_n = -c_n\sin\varphi_n

正弦形式

f(t)=d0+∑n=1∞dnsin(nω1t+θn) f ( t ) = d 0 + ∑ n = 1 ∞ d n sin ⁡ ( n ω 1 t + θ n )

f(t) = d_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}d_n\sin(n\omega_1t + \theta_n)
系数 d0 d 0 d_0、 dn d n d_n和余弦的差不多，其他可以用下面的公式来求：

θn=arctan(bnan) θ n = arctan ⁡ ( b n a n )

\theta_n = \arctan(\frac{b_n}{a_n})
反过来

an=dnsin(θn)bn=dncos(θn) a n = d n sin ⁡ ( θ n ) b n = d n cos ⁡ ( θ n )

a_n = d_n\sin(\theta_n) \quad b_n = d_n\cos(\theta_n)

其实上面用的还是三角函数合并用到的公式，实在记不得也可以推导出来，只是记得的话方便一点。

这样就可以把周期信号分解成直流、基波（ ω1 ω 1 \omega_1）和各次谐波（ nω1 n ω 1 n\omega_1：基波角频率的整数倍）的线性组合。

然后用 cn ω c n ω c_n ~ \omega关系画成幅度频谱图
φn ω φ n ω \varphi_n ~ \omega关系画成相位频谱图（这些符号代表的意思上面的公式里面都有）

周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。

指数形式的傅里叶级数

复指数正交函数集 ejnω1tn=0,±1,±2⋯ e j n ω 1 t n = 0 , ± 1 , ± 2 ⋯ {\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_1 t}}\quad n = 0, \pm1, \pm2\cdots
级数形式：

f(t)=∑n=−∞∞F(nω1)ejnω1t f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F ( n ω 1 ) e j n ω 1 t

f(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_1t}
上面公式里面的 F(nω1) F ( n ω 1 ) F(n\omega_1)系数用下面这个公式来确定：

F(nω1)=∫T10f(t)e−jnω1tdt∫T10ejnω1te−jnω1tdt=1T∫T10f(t)e−jnω1tdt F ( n ω 1 ) = ∫ 0 T 1 f ( t ) e − j n ω 1 t d t ∫ 0 T 1 e j n ω 1 t e − j n ω 1 t d t = 1 T ∫ 0 T 1 f ( t ) e − j n ω 1 t d t

F(n\omega_1) = \frac{\int_{0}^{T_1}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_1t}\mathrm{d}t}{\int_{0}^{T_1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_1t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_1t}\mathrm{d}t} = \frac{1}{T}{\int_{0}^{T_1}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_1t}\mathrm{d}t}
其实 F(nω1) F ( n ω 1 ) F(n\omega_1)也可以写成 Fn F n F_n。

上面复指数和三角函数之间可以直接用欧拉公式进行转换。

上面公式里面出现了 −1 − 1 -1是因为 j∗j=−1 j ∗ j = − 1 \mathrm{j} * \mathrm{j} = -1， sin sin \sin部分多了个 j j \mathrm{j}。
欧拉公式：

ejωt=cosωt+jsinωt e j ω t = cos ⁡ ω t + j sin ⁡ ω t

\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} = \cos{\omega t} +\mathrm{j} \sin{\omega t}

了解就行。

上面几个系数之间的关系

上图中奇偶函数的定法可以直接看原公式得出。

总结
周期信号 f(t) f ( t ) f(t)胡傅里叶级数两种形式：
三角形式：

f(t)=a0+∑n=1∞[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]=c0+∑n=1∞cncos(nω1t+φn) f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n ω 1 t ) + b n sin ⁡ ( n ω 1 t ) ] = c 0 + ∑ n = 1 ∞ c n cos ⁡ ( n ω 1 t + φ n )

f(t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}[a_n\cos(n\omega_1t) + b_n \sin(n\omega_1 t)] = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}c_n\cos(n\omega_1t + \varphi_n)
其实最后面也可以转成 sin sin \sin的形式

指数形式：

f(t)=∑n=−∞∞F(nω1)ejnω1t f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F ( n ω 1 ) e j n ω 1 t

f(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_1t}

两种频谱图的关系

注意画频谱图的时候用的是 cn ω c n ω c_n ~ \omega，不是 dn d n d_n，所以要吧 sin sin \sin的部分转成 cos cos \cos。

基本上就是套上面的公式。

指数形式频谱里面出现的负频率的存在只是为了使公式有数学意义，其实没有物理意义，是用来保证 f(t) f ( t ) f(t)的实函数性质。

傅里叶级数有三个性质
收敛性（ n↑,|F(nω1)|↓ n ↑ , | F ( n ω 1 ) | ↓ n\uparrow, |F(n\omega_1)| \downarrow）
谐波性/离散性
唯一性（ f(t) f ( t ) f(t)谱线唯一）

补充：冲激函数序列的频谱不满足收敛性。

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