数学建模——人口增长模型的matlab实现以及对2010年人口预测

文章目录

运行软件：MATLAB R2012a
实验数据
指数增长模型
- 指数增长模型：方法一
- - 对2010年的人口预测
- 指数增长模型：方法二
- - 对2010年人口预测
改进的指数增长模型
- 对2010人口预测
逻辑斯蒂(logistic)模型
- 逻辑斯蒂(logistic)模型：方法一
- - 对2010预测
- 逻辑斯蒂(logistic)模型：方法二
- - 对2010预测

运行软件：MATLAB R2012a

实验数据

年份	1790	1800	1810	1820	1830	1840	1850	1860
人口/百万	3.9	5.3	7.2	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4
增长率/10年	0.2949	0.3113	0.2986	0.2969	0.2907	0.3012	0.3082	0.2452

年份	1870	1880	1890	1900	1910	1920	1930	1940
人口/百万	38.6	50.2	62.9	76.0	92.0	105.7	122.8	131.7
增长率/10年	0.2435	0.2420	0.2051	0.1914	0.1614	0.1457	0.1059	0.1059

年份	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2010
人口/百万	150.7	179.3	203.2	226.5	248.7	281.4	308.7
增长率/10年	0.1579	0.1464	0.1161	0.1004	0.1104	0.1349

指数增长模型

满足人口增长的微分方程和初始条件为：

利用函数dsolve()可得：

指数增长模型：方法一

根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。
对下面的这个公式同时取对数

可得

t：代表年份1970取0，依次类推
x：人口数量，实验数据已知
根据求出的公式可以求出y；然后利用polyfit()函数求出r，a的值；当a求出来时，根据上面求出的公式，可以求出x0；将r，x0带入公式
可求出指数增长模型方法一的x值

代码如下：
使用的是matlb函数

function [ x1 ] = method_1( x )
%方法一：直接用人口数据和线性最小二乘法
% 利用函数polyfit（），dsolve()求解，r年增长率,返回x1模型的估计值y=log(x);t=0:1:21;p=polyfit(t,y,1);r=p(1);a=p(2);x0=exp(a);s=dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0','t');x1=eval(s);x1=x1';
end

运行代码：

x=[3.9  5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
m=1790:10:2000;
m=m';
m(:,2)=x';
m(:,3)=method_1(x);

运行界面：

运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值

对2010年的人口预测

根据上面算出的结果，可以得到：r=0.2020 x0=6.0496
直接利用算出来的参数计算2020年的结果（t=22）
运行代码：

>> x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
>>  y=log(x);t=0:1:21;p=polyfit(t,y,1);r=p(1);a=p(2);x0=exp(a);%若要预测2010年的人口对t进行更改t=0:1:22;s=dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0','t');
>> t=22;
>> eval(s)

运行结果：

指数增长模型：方法二

先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为的估计；直接取原始数据。
公式：

先求rk，再求出r，再根据公式
求出模型的预估值
代码如下：
我是以函数文件运行：

function [ x2 ] = method_2( x )
%方法二：先对人口数据作数值微分，再计算增长率并将其平均值作为r的估计；x0直接采用原数据n=length(x);
t=0:1:n-1;
rk=zeros(1,n);
rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2;
rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2;
for i=2:n-1
rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2;
end
rk=rk./x;
r=sum(rk)/n;
x2=zeros(n,1);
x2(1)=x(1);
for i=1:n
x2(i)=x2(1)*exp(r*t(i));
endend

运行代码

  x=[3.9    5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
m=1790:10:2000;
m=m';
m(:,2)=x';
m(:,3)=method_1(x);m(:,4)=method_2(x);

运行界面：

运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值；第四列为指数增长模型：方法二的预估值

对2010年人口预测

已经求得r与x0代码：

x=[3.9  5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
n=length(x);
t=0:1:n-1;
rk=zeros(1,n);
rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2;
rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2;
for i=2:n-1
rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2;
end
rk=rk./x;
r=sum(rk)/n;
x2=zeros(n,1);
x2(1)=x(1);
>> t=22;
>> x2(1)*exp(r*t)

运行结果：

改进的指数增长模型

指数增长模型进行改进。改进为：
假设：

利用dsolve()函数可得：

已知t值，根据上面我们已经求过了rk，所以rk也是已知的，然后利用最小二乘法polyfit()函数计算出
中的r0和r1，x0=3.9，利用eval()函数求出结果
运行代码：
函数：

function [ x3 ] =method_3( x )
%方法三：改进的指数增长模型
%   Detailed explanation goes here
n=length(x);
t=0:1:n-1;
rk=zeros(1,n);
rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2;
rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2;
for i=2:n-1
rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2;
end
rk=rk./x;
p=polyfit(t,rk,1);
r0=p(2);
r1=-p(1);
s=dsolve('Dx=(r0-r1*t)*x','x(0)=x0','t');
x0=3.9;
x3=zeros(n,1);
x3=eval(s);
x3=x3';
end

运行代码：

x=[3.9  5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
m=1790:10:2000;
m=m';
m(:,2)=x';
m(:,3)=method_1(x);
m(:,4)=method_2(x);m(:,5)=method_3(x);

运行界面：

运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值；第四列为指数增长模型：方法二的预估值；第五列改进指数模型的预估值

对2010人口预测

>> x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
>> n=length(x);
t=0:1:n-1;
rk=zeros(1,n);
rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2;
rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2;
for i=2:n-1
rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2;
end
rk=rk./x;
p=polyfit(t,rk,1);
r0=p(2);
r1=-p(1);
s=dsolve('Dx=(r0-r1*t)*x','x(0)=x0','t');
x0=3.9;
>> t=22;
>> eval(s)

运行结果：

逻辑斯蒂(logistic)模型

xm：表示人口容量
有了人口容量的限制，当人口数量增加时，增长率r减小，用
表示。

当x=0时，r(0)=r，则a=r
当x=xm时，此时人口不再增长，增长率r=0，于是：b=-r/x0

逻辑斯蒂(logistic)模型：方法一

开勇函数dsolve()求解可得

代码如下：函数

function [ x4 ] = logistic_1( x )
%逻辑斯蒂模型方法一
n=length(x);
t=0:1:n-1;
rk=zeros(1,n);
rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2;
rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2;
for i=2:n-1
rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2;
end
rk=rk./x;
p=polyfit(x,rk,1);
b=p(1);
a=p(2);
r=a;
xm=-r/b;
s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t');
x0=3.9;
x4=eval(s);
x4=x4';
x4=abs(x4);
end

运行代码：

x=[3.9  5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
m=1790:10:2000;
m=m';
m(:,2)=x';
m(:,3)=method_1(x);
m(:,4)=method_2(x);
m(:,5)=method_3(x);
m(:,6)=logistic_1(x);

运行界面：

运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值；第四列为指数增长模型：方法二的预估值；第五列改进指数模型的预估值；第六列逻辑斯蒂方法一预估值

对2010预测

代码：

>> x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
>> n=length(x);
t=0:1:n-1;
rk=zeros(1,n);
rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2;
rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2;
for i=2:n-1
rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2;
end
rk=rk./x;
p=polyfit(x,rk,1);
b=p(1);
a=p(2);
r=a;
xm=-r/b;
s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t');
x0=3.9;
>> t=22;
>> eval(s)

运行结果：如果出现结果有复数，对结果进行转换，如下图

逻辑斯蒂(logistic)模型：方法二

直接用数据和非线性最小而成估计参数：
运行代码：

function [ x5 ] = logistic_2( x )
%逻辑斯蒂模型方法二n=length(x);
t=0:1:n-1;f=@(a,t)a(1)./(1+(a(1)./a(2)-1).*exp(-a(3).*t));[A,cancha]=lsqcurvefit(f,[500,3.9,0.3],t,x);s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t');
r=A(3);
x0=A(2);
xm=A(1);
x5=eval(s);
x5=x5';
x5=abs(x5);
end

运行代码：

x=[3.9  5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
m=1790:10:2000;
m=m';
m(:,2)=x';
m(:,3)=method_1(x);
m(:,4)=method_2(x);
m(:,5)=method_3(x);
m(:,6)=logistic_1(x);
m(:,7)=logistic_2(x);

运行界面：

运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值；第四列为指数增长模型：方法二的预估值；第五列改进指数模型的预估值；第六列逻辑斯蒂方法一预估值；第七列逻辑斯蒂方法二预估值

对2010预测

代码：

 x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4];
>>  n=length(x);
t=0:1:n-1;f=@(a,t)a(1)./(1+(a(1)./a(2)-1).*exp(-a(3).*t));[A,cancha]=lsqcurvefit(f,[500,3.9,0.3],t,x);s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t');
r=A(3);
x0=A(2);
xm=A(1);
>> t=22;
>> eval(s)

运行结果：