信号与系统公式笔记（1）

记录一些卷积的公式。这里记录的是平时解题遇到的问题，所以可能比较乱。

进入正题，贫僧要记录的是这个公式：

x1(t−t1)∗x2(t−t2)=x(t−t1−t2)x(t)=x1(t)∗t2(t) x 1 ( t − t 1 ) ∗ x 2 ( t − t 2 ) = x ( t − t 1 − t 2 ) x ( t ) = x 1 ( t ) ∗ t 2 ( t )

x_1(t - t_1) * x_2(t - t_2) = x(t - t_1 - t_2)\\ x(t) = x_1(t) * t_2(t)
上面这个公式就是卷积的延时性质。
然后就是：

u(t)∗u(t)=tu(t) u ( t ) ∗ u ( t ) = t u ( t )

\mathrm{u}(t) * \mathrm{u}(t) =t\mathrm{u}(t)
上面这个其实就是用了积分器的性质。
和：

x(t)∗u(t)=∫t−∞x(τ)dτ x ( t ) ∗ u ( t ) = ∫ − ∞ t x ( τ ) d τ

x(t) * \mathrm{u}(t) = \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau
也是用了积分器的性质。
例题：

求 u(t−1)∗u(t−2) u ( t − 1 ) ∗ u ( t − 2 ) \mathrm{u}(t -1) * \mathrm{u}(t - 2)， u(t) u ( t ) \mathrm{u}(t)是阶跃函数。

这个题目直接套用上面的公式就可以了：

令τ=t−1−2=t−3原式=τu(τ)=(t−3)u(t−3) 令 τ = t − 1 − 2 = t − 3 原式 = τ u ( τ ) = ( t − 3 ) u ( t − 3 )

\mathrm{令}\tau = t - 1 - 2 = t - 3\\ \mathrm{原式} = \tau \mathrm{u}(\tau) = (t - 3) \mathrm{u}(t - 3)

还是比较简单的例题。。。

x(t)∗σ(t1)=x(t1)x1(t)∗(x2(t)+x3(t))=x1(t)∗x2(t)+x1(t)∗x3(t) x ( t ) ∗ σ ( t 1 ) = x ( t 1 ) x 1 ( t ) ∗ ( x 2 ( t ) + x 3 ( t ) ) = x 1 ( t ) ∗ x 2 ( t ) + x 1 ( t ) ∗ x 3 ( t )

x(t) * \sigma(t_1) = x(t_1)\\ x_1(t) * (x_2(t) + x_3(t)) = x_1(t) * x_2(t) + x_1(t) * x_3(t)

例题：
令 x1(t)=u(t−1)+u(t−2)+u(t−3) x 1 ( t ) = u ( t − 1 ) + u ( t − 2 ) + u ( t − 3 ) x_1(t) = \mathrm{u}(t - 1) + \mathrm{u}(t - 2) + \mathrm{u}(t - 3)， x2(t)=σ(t−2)+σ(t)+σ(t+2) x 2 ( t ) = σ ( t − 2 ) + σ ( t ) + σ ( t + 2 ) x_2(t) = \sigma(t - 2) + \sigma(t) + \sigma(t + 2)，求 x1(t)∗x2(t) x 1 ( t ) ∗ x 2 ( t ) x_1(t) * x_2(t)。
可以直接得出答案：

x1(t)∗x2(t)=x1(t−2)+x1(t)+x1(t+2) x 1 ( t ) ∗ x 2 ( t ) = x 1 ( t − 2 ) + x 1 ( t ) + x 1 ( t + 2 )

x_1(t) * x_2(t) = x_1(t - 2) + x_1(t) + x_1(t + 2)

一定要记得的几个求解微分方程的特解的式子：

激励函数 x(t) x ( t ) x(t)	响应函数的特解 yp(t) y p ( t ) y_p(t)
E E E（常数）	B" role="presentation">BBB（常数）
tm t m t^m	B0+B1t+B2t2+⋯+Bmtm（0不是方程的特征根） B 0 + B 1 t + B 2 t 2 + ⋯ + B m t m （ 0 不是方程的特征根） B_0 + B_1t+ B_2t^2 + \dots + B_mt^m \mathrm{（0不是方程的特征根）}
tm t m t^m	tr(B0+B1t+B2t2+⋯+Bmtm)（0是方程的一个r重特征根） t r ( B 0 + B 1 t + B 2 t 2 + ⋯ + B m t m ) （ 0 是方程的一个 r 重特征根） t^r(B_0 + B_1t+ B_2t^2 + \dots + B_mt^m) \mathrm{（0是方程的一个}r\mathrm{重特征根）}
eαt e α t e^{\alpha t}	Beαt B e α t Be^{\alpha t} （ α α \alpha 不是方程的特征根）
eαt e α t e^{\alpha t}	Btreαt B t r e α t Bt^re^{\alpha t} （ α α \alpha是方程的一个 r r r 重特征根）
cos⁡ωt" role="presentation">cosωtcos⁡ωt\cos{\omega t}或 sinωt sin ⁡ ω t \sin{\omega t}	B1cosωt+B2sinωt B 1 cos ⁡ ω t + B 2 sin ⁡ ω t B_1\cos{\omega t} + B_2\sin{\omega t} （ ±jω ± j ω \pm \mathrm{j}\omega 不是特征根）
	t(B1cosωt+B2sinωt) t ( B 1 cos ⁡ ω t + B 2 sin ⁡ ω t ) t(B_1\cos{\omega t} + B_2\sin{\omega t})（ ±jω ± j ω \pm \mathrm{j}\omega是特征根）

其实上面的 tr t r t^r都可以那些部分都可以理解成 r=k r = k r = k， k k k就是指对应的某个特解表达式里的量（α" role="presentation">αα\alpha或者 jω j ω \mathrm{j}\omega）是特征方程的 k k k 重特征根。

例题：郑军里老师的《信号与系统》52页例2-4.

单位冲激响应符号： h(t)" role="presentation">h(t)h(t)h(t)
单位阶跃响应符号： g(t) g ( t ) g(t)

注意用经典法在解微分方程的时候，要记得整理，右边的输入部分一定不要有 u(t) u ( t ) \mathrm{u}(t)，因为那是给输入加上的时间条件，给定了特解的约束条件。不用看 u(t) u ( t ) \mathrm{u}(t)，直接查表格里面除了 u(t) u ( t ) \mathrm{u}(t)之外的部分，然后直接带入方程中。就是要记得在解完全解之后加上 u(t) u ( t ) \mathrm{u}(t)限制时间（或者直接在方程最右边标明 (t>0) ( t > 0 ) (t > 0)）（但是冲激相应里面的 u(t) u ( t ) \mathrm{u}(t) 一定要保留代入方程里面）。

例题：孙国霞老师的《信号与系统》P72例2-11

求冲激响应的时候要把输入 x(t)=σ(t) x ( t ) = σ ( t ) x(t) = \sigma{(t)}，求阶跃响应的时候也差不多这样。所以如果微分方程右边的输入式子里面出现了 x′(t) x ′ ( t ) x'(t)之类的也要对应的把 σ(t) σ ( t ) \sigma{(t)}求导。

同时注意的是，令左边（输出）的最高次导的次数为 n n n，而输入的为m" role="presentation">mmm，那么要注意冲激响应要相对应地改变（ n=m n = m n = m时 h(t) h ( t ) h(t)包含一个 σ(t) σ ( t ) \sigma{(t)}， n<m n < m n 时就要包含对应的导数项）。

解题的时候代公式就可以了，左边的输出 h(t) h ( t ) h(t) 用下面的公式直接代入，右边如果是求冲激响应的话就代入 σ(t) σ ( t ) \sigma(t)，阶跃响应的话就带入阶跃函数，然后平衡方程左右两边的系数。

系统方程式		冲激响应 h(t) h ( t ) h(t)
一阶（特征根 α=−C α = − C \alpha = -C）	dr(t)dt+Cr(t)=E(t) d r ( t ) d t + C r ( t ) = E ( t ) \frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + Cr(t) = E(t)	Eeαtu(t) E e α t u ( t ) Ee^{\alpha t}\mathrm{u}(t)
一阶（特征根 α=−C α = − C \alpha = -C）	dr(t)dt+Cr(t)=Ede(t)dt d r ( t ) d t + C r ( t ) = E d e ( t ) d t \frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + Cr(t) = E\frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}	Eσ(t)+Eαeαtu(t) E σ ( t ) + E α e α t u ( t ) E\sigma(t) + E\alpha e^{\alpha t}\mathrm{u}(t)
二阶（特征根 α1,α2=−C1±C21−4C2√2 α 1 , α 2 = − C 1 ± C 1 2 − 4 C 2 2 \alpha_1, \alpha_2 = \frac{-C_1 \pm \sqrt{C_1^2 - 4C_2}}{2}）	d2r(t)dt2+C1dr(t)dt+C2r(t)=Ee(t) d 2 r ( t ) d t 2 + C 1 d r ( t ) d t + C 2 r ( t ) = E e ( t ) \frac{\mathrm{d}^2r(t)}{\mathrm{d}t^2} + C_1\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + C_2 r(t) = Ee(t)	Eα1−α2(eα1t−eα2t)u(t) E α 1 − α 2 ( e α 1 t − e α 2 t ) u ( t ) \frac{E}{\alpha_1 - \alpha_2}(e^{\alpha_1 t} - e^{\alpha_2 t})\mathrm{u}(t)
	d2r(t)dt2+C1dr(t)dt+C2r(t)=Ede(t)dt d 2 r ( t ) d t 2 + C 1 d r ( t ) d t + C 2 r ( t ) = E d e ( t ) d t \frac{\mathrm{d}^2r(t)}{\mathrm{d}t^2} + C_1\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + C_2 r(t) = E\frac{\mathrm{d}e(t)}{dt}	Eα1−α2(α1eα1t−α2eα2t)u(t) E α 1 − α 2 ( α 1 e α 1 t − α 2 e α 2 t ) u ( t ) \frac{E}{\alpha_1 - \alpha_2}(\alpha_1 e^{\alpha_1 t} - \alpha_2 e^{\alpha_2 t})\mathrm{u}(t)

例题：郑氏《信号与系统》64页的例2-9.、88页2-9.

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