BZOJ 1022 [SHOI2008]小约翰的游戏John
title: ‘BZOJ 1022 [SHOI2008]小约翰的游戏John’
categories: BZOJ
date: 2016-3-8 21:27:00
tags: [SG函数,博弈论]
Description
小约翰经常和他的哥哥玩一个非常有趣的游戏:桌子上有n堆石子,小约翰和他的哥哥轮流取石子,每个人取的时候,可以随意选择一堆石子,在这堆石子中取走任意多的石子,但不能一粒石子也不取,我们规定取到最后一粒石子的人算输。小约翰相当固执,他坚持认为先取的人有很大的优势,所以他总是先取石子,而他的哥哥就聪明多了,他从来没有在游戏中犯过错误。小约翰一怒之前请你来做他的参谋。自然,你应该先写一个程序,预测一下谁将获得游戏的胜利。
Input
本题的输入由多组数据组成,第一行包括一个整数T,表示输入总共有T组数据(T≤500)。每组数据的第一行包括一个整数N(N≤50),表示共有N堆石子,接下来有N个不超过5000的整数,分别表示每堆石子的数目。
Output
每组数据的输出占一行,每行输出一个单词。如果约翰能赢得比赛,则输出“John”,否则输出“Brother”,请注意单词的大小写。
Sample
input.txt
2
3
3 5 1
1
1
output.txt
John
Brother
Solution
这题是经典的Anti-SG游戏(详情见IOI2009国家集训队论文《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》By 贾志豪)
这里直接给出两个结论然后简单证明一下:
1. 当石子堆数均为1且游戏的SG值为0时先手必胜
2. 当石子堆数至少有一堆大于1且游戏的SG值不为0时先手必胜
第一个挺显然的,堆数都是1并且为偶数堆当然会被后手取完。
第二个分情况讨论一下,当只有一堆大于1时,你绝对可以使它达到石子堆数均为1且SG值不为0的状态(先手必败态);当有多堆大于1时,你可以直接把它取成SG为0且石子堆数不均为1的情况(先手必败态)。当你有多堆大于1且SG为0时,不管怎么取都会变成至少一堆大于1且SG值不为0的情况(先手必败态)。
Code
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>#define maxn 5000+5using namespace std;int sg[maxn],mex[maxn];
int n,res,flag;void get_sg(){sg[0]=0;for(int i=1;i<=5000;i++){for(int j=1;j<=i;j++) mex[sg[i-j]]=i;for(int j=0;;j++) if(mex[j]!=i) { sg[i]=j; break; }}
}int main(){int T;scanf("%d",&T); get_sg();while(T--){scanf("%d",&n); res=0; flag=1;for(int i=1;i<=n;i++){int x; scanf("%d",&x);res^=x; if(x!=1) flag=0;}if((flag && res) || (!flag && !res)) puts("Brother");else puts("John");}return 0;
}
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