PE 521【DP】

题目大意：设 ms(i) ms(i)代表i的最小质因数，求 ∑ni=2ms(i) \sum_{i=2}^nms(i), n=1012mod109 n = 10^{12}\;mod\;10^9

对于 pi>n−√ pi>\sqrt n,pi只会出现一次，所以可以先处理 <=n−√ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1993"><=\sqrt n</script>的素数
设 F[i,j] 表示不含 p1..i p_{1..i}的因数，范围在[1,j]的数的个数
设 G[i,j] 表示不含 p1..i p_{1..i}的因数，范围在[1,j]的数的和
对于 p2i>j p_i^2 >j，有

F[i,j]=F[i−1,j]−1G[i,j]=G[i−1,j]−pi

F[i,j] = F[i - 1,j] - 1 \\G[i,j] = G[i - 1,j] - p_i
对于 p2i<j p_i^2 ，令 k=j/pi k = j / p_i有

F[i,j]=F[i−1,j]−F[i−1,k]G[i,j]=G[i−1,j]−G[i−1,k]∗pi

F[i,j] = F[i - 1,j] - F[i - 1,k] \\G[i,j] = G[i - 1,j] - G[i - 1,k] * p_i
因为要用到的只有f[i,n],g[tot,n]，所以第二维可以简化成只有 2n−√ 2\sqrt n个

素数分布比较均匀，积分算下来，复杂度 O(n34lnn) O(\frac {n^{\frac 34}}{\ln n})

开始想多了是我sb。。。
线筛写错也是醉了→_→

【答案】44389811

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#define N 2000005
#define M 1000000000
#define LL long long
using namespace std;int tot,m;
LL n = (LL)1e12,S = (LL)1e6,ans;
LL f[N],g[N],f_[N],g_[N],a[N],sum[N],prime[N];
bool v[N];void get_prime()
{for (int i = 2;i <= S;i ++){if (!v[i]) prime[++ tot] = i;for (int j = 1;j <= tot && i * prime[j] <= S;j ++){v[i * prime[j]] = true;if (i % prime[j] == 0) break;}}
}LL mul2(LL x)
{LL y = x + 1;(x & 1) ? y >>= 1 : x >>= 1;x %= M,y %= M;return x * y % M;
}int main()
{get_prime();for (int i = 1;i <= S;i ++) a[++ m] = i;for (int i = S;i;i --) if (n / i != a[m]) a[++ m] = n / i;for (int i = 1;i <= m;i ++){g[i] = mul2(a[i]);f[i] = a[i];}for (int i = tot;i;i --)sum[i] = (sum[i + 1] + prime[i]) % M;for (int i = 1,last = 1,j;i <= tot;i ++){for (j = last;a[j] < prime[i] * prime[i];j ++){(f[j] -= tot - i + 1) %= M;(g[j] -= sum[i]) %= M;}last = j;for (j = last;j <= m;j ++){f_[j] = f[j];g_[j] = g[j];}for (j = last;j <= m;j ++){LL k = a[j] / prime[i],t = f[j];if (k > S) k = m + 1 - n / k;if (k < last){f[j] -= f[k] + tot - i + 1;g[j] -= (g[k] + sum[i]) * prime[i];}else{f[j] -= f_[k];g[j] -= g_[k] * prime[i];}f[j] %= M,g[j] %= M;if (j == m) (ans += (t - f[j]) % M * prime[i]) %= M;}}(ans += g[m] - 1) %= M;if (ans < 0) ans += M;cout << ans << endl;return 0;
}

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