一、理想IMC控制器设计

对于IMC系统，典型结构框图如下：

图1 内模控制器结构框图

被控过程 $P(s)$ 已知，则IMC控制器设计如下：

$M(s)=P(s)$ 且 $Q(s)=M^{-1}(s)$ (1)

根据系统输出方程可知：

$y=\frac{Q\left ( s \right )P\left ( s \right )}{1+Q\left ( s \right )\left [ P\left ( s \right )-M\left ( s \right ) \right ]}r+\frac{\left [ 1-Q\left ( s \right )M\left ( s \right ) \right ]D\left ( s \right )}{1+Q\left ( s \right )\left [ P\left ( s \right )-M\left ( s \right ) \right ]}d$ （2）

则始终有：

$y=r$ (3)

理想控制器具有无误差跟踪参考输入及完全抵抗干扰的效果。

二、理想控制器设计过程中存在的问题

1、若被控过程 $P(s)$ 含有时滞特性，则控制器 $Q(s)=M^{-1}(s)$ 中含有纯超前项，这在物理上难以实现，不符合因果律。

2、若被控过程 $P(s)$ 含有右半平面零点，因为 $M(s)=P(s)$ ，而控制器 $Q(s)=M^{-1}(s)$ ，所以控制器 $Q(s)$ 中就会出现右半平面极点，造成控制器本身不稳定，因而闭环系统也不稳定。

3、过程模型 $M(s)$ 严格有理，则理想控制器非有理，即

$\lim_{s\rightarrow 0}\left | Q(s) \right |\rightarrow \infty$

也就是说，如果 $M(s)$ 的分母多项式的阶次比分子多项式的阶次高 $N$ 阶，则控制器中将会出现 $N$ 阶微分器，尽管这在数学上是成立的，但 $N$ 阶微分器对于过程测量信号中的噪声极为敏感，因而不切实际。

4、采用理想控制器构成的系统，对于模型误差极为敏感，若 $P(s)\neq M(s)$ ，则无法确保闭环系统的鲁棒稳定性。

三、IMC控制器设计

为解决上述四个问题，将设计内模控制器分为两个步骤：

1、设计一个稳定的理想控制器，而不考虑系统的鲁棒性和约束；

2、引入滤波器，通过调整滤波器的结构和参数，以期获得理想的动态品质和鲁棒性。

步骤1：过程模型 $M(s)$ 的分解

$M(s)$ 可分解为两项： $M_{+}(s)$ 和 $M_{-}(s)$ ，即

$M(s)=M_{+}(s)M_{-}(s)$ (4)

其中， $M_{+}(s)$ 为模型中包含纯滞后和不稳定零点的部分， $M_{-}(s)$ 为模型中的最小相位部分。

步骤2：IMC控制器设计

在设计IMC控制器时，需在最小相位 $M_{-}(s)$ 的逆上增加滤波器，以确保系统的稳定性和鲁棒性。定义IMC控制器为

$Q(s)=f(s)/M_{-}(s)$ (5)

式中， $f(s)$ 为低通滤波器，选择 $f(s)$ 的目的之一是使 $Q\left ( s \right )$ 变得有理，通常选用以下形式：

$f(s)=\frac{1}{(1+\lambda s)^{r}}$ (6)

式中， $r$ 应该足够大以保证 $Q\left ( s \right )$ 的可实现性， $\lambda$ 为滤波时间常数，是内模控制器仅有的设计参数。

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