高等数学（第七版）同济大学习题4-1 个人解答

2024-06-02 16:27:04

高等数学（第七版）同济大学习题4-1

1.利用求导运算验证下列等式：\begin{aligned}&1. \ 利用求导运算验证下列等式：&\end{aligned}1. 利用求导运算验证下列等式：

(1)∫1x2+1dx=ln(x+x2+1)+C；(2)∫1x2x2−1dx=x2−1x+C；(3)∫2x(x2+1)(x+1)2dx=arctanx+1x+1+C；(4)∫secxdx=ln∣tanx+secx∣+C；(5)∫xcosxdx=xsinx+cosx+C；(6)∫exsinxdx=12ex(sinx−cosx)+C.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=ln(x+\sqrt{x^2+1})+C；\\\\ &\ \ (2)\ \ \int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}dx=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int \frac{2x}{(x^2+1)(x+1)^2}dx=arctan\ x+\frac{1}{x+1}+C；\\\\ &\ \ (4)\ \ \int sec\ xdx=ln\ |tan\ x+sec\ x|+C；\\\\ &\ \ (5)\ \ \int xcos\ xdx=xsin\ x+cos\ x+C；\\\\ &\ \ (6)\ \ \int e^xsin\ xdx=\frac{1}{2}e^x(sin\ x-cos\ x)+C. & \end{aligned} (1) ∫x2+11dx=ln(x+x2+1)+C； (2) ∫x2x2−11dx=xx2−1+C； (3) ∫(x2+1)(x+1)22xdx=arctan x+x+11+C； (4) ∫sec xdx=ln ∣tan x+sec x∣+C； (5) ∫xcos xdx=xsin x+cos x+C； (6) ∫exsin xdx=21ex(sin x−cos x)+C.

解：

(1)[ln(x+x2+1)+C]′=1x+x2+1⋅(1+xx2+1)=1x2+1(2)(x2−1x+C)′=xx2−1⋅x−x2−1x2=1x2x2−1(3)(arctanx+1x+1+C)′=1x2+1−1(x+1)2=2x(x2+1)(x+1)2(4)(ln∣tanx+secx∣+C)′=1tanx+secx⋅(sec2x+secxtanx)=secx(5)(xsinx+cosx+C)′=sinx+xcosx−sinx=xcosx(6)[12ex(sinx−cosx)+C]′=12ex(sinx−cosx)+12ex(cosx+sinx)=exsinx\begin{aligned} &\ \ (1)\ [ln(x+\sqrt{x^2+1})+C]'=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\\\ &\ \ (2)\ \left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C\right)'=\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\cdot x-\sqrt{x^2-1}}{x^2}=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}\\\\ &\ \ (3)\ \left(arctan\ x+\frac{1}{x+1}+C\right)'=\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{2x}{(x^2+1)(x+1)^2}\\\\ &\ \ (4)\ (ln\ |tan\ x+sec\ x|+C)'=\frac{1}{tan\ x+sec\ x}\cdot (sec^2\ x+sec\ xtan\ x)=sec\ x\\\\ &\ \ (5)\ (xsin\ x+cos\ x+C)'=sin\ x+xcos\ x-sin\ x=xcos\ x\\\\ &\ \ (6)\ \left[\frac{1}{2}e^x(sin\ x-cos\ x)+C\right]'=\frac{1}{2}e^x(sin\ x-cos\ x)+\frac{1}{2}e^x(cos\ x+sin\ x)=e^xsin\ x & \end{aligned} (1) [ln(x+x2+1)+C]′=x+x2+11⋅(1+x2+1x)=x2+11 (2) (xx2−1+C)′=x2x2−1x⋅x−x2−1=x2x2−11 (3) (arctan x+x+11+C)′=x2+11−(x+1)21=(x2+1)(x+1)22x (4) (ln ∣tan x+sec x∣+C)′=tan x+sec x1⋅(sec2 x+sec xtan x)=sec x (5) (xsin x+cos x+C)′=sin x+xcos x−sin x=xcos x (6) [21ex(sin x−cos x)+C]′=21ex(sin x−cos x)+21ex(cos x+sin x)=exsin x

2.求下列不定积分：\begin{aligned}&2. \ 求下列不定积分：&\end{aligned}2. 求下列不定积分：

(1)∫dxx2； (2)∫xxdx；(3)∫dxx； (4)∫x2x3dx；(5)∫dxx2x； (6)∫xnmdx；(7)∫5x3dx； (8)∫(x2−3x+2)dx；(9)∫dh2gh(g是常数)； (10)∫(x2+1)2dx；(11)∫(x+1)(x3−1)dx；(12)∫(1−x)2xdx；(13)∫(2ex+3x)dx； (14)∫(31+x2−21−x2)dx；(15)∫ex(1−e−xx)dx； (16)∫3xexdx；(17)∫2⋅3x−5⋅2x3xdx； (18)∫secx(secx−tanx)dx；(19)∫cos2x2dx； (20)∫dx1+cos2x；(21)∫cos2xcosx−sinxdx； (22)∫cos2xcos2xsin2xdx；(23)∫cot2xdx； (24)∫cosθ(tanθ+secθ)dθ；(25)∫x2x2+1dx； (26)∫3x4+2x2x2+1dx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int \frac{dx}{x^2}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int x\sqrt{x}dx；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int \frac{dx}{\sqrt{x}}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \int x^2\sqrt[3]{x}dx；\\\\ &\ \ (5)\ \ \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x}}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ \int \sqrt[m]{x^n}dx；\\\\ &\ \ (7)\ \ \int 5x^3dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \ \int (x^2-3x+2)dx；\\\\ &\ \ (9)\ \ \int \frac{dh}{\sqrt{2gh}}\ (g是常数)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\ \ \int (x^2+1)^2dx；\\\\ &\ \ (11)\ \ \int (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^3}-1)dx；(12)\ \ \int \frac{(1-x)^2}{\sqrt{x}}dx；\\\\ &\ \ (13)\ \ \int \left(2e^x+\frac{3}{x}\right)dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14)\ \ \int \left(\frac{3}{1+x^2}-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx；\\\\ &\ \ (15)\ \ \int e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right)dx；\ \ \ \ \ \ \ \ (16)\ \ \int 3^xe^xdx；\\\\ &\ \ (17)\ \ \int \frac{2\cdot 3^x-5\cdot 2^x}{3^x}dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (18)\ \ \int sec\ x(sec\ x-tan\ x)dx；\\\\ &\ \ (19)\ \ \int cos^2 \frac{x}{2}dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (20)\ \ \int \frac{dx}{1+cos\ 2x}；\\\\ &\ \ (21)\ \ \int \frac{cos\ 2x}{cos\ x-sin\ x}dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (22)\ \ \int \frac{cos\ 2x}{cos^2\ xsin^2\ x}dx；\\\\ &\ \ (23)\ \ \int cot^2\ xdx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (24)\ \ \int cos\ \theta(tan\ \theta+sec\ \theta)d\theta；\\\\ &\ \ (25)\ \ \int \frac{x^2}{x^2+1}dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (26)\ \ \int \frac{3x^4+2x^2}{x^2+1}dx. & \end{aligned} (1) ∫x2dx； (2) ∫xxdx； (3) ∫xdx； (4) ∫x23xdx； (5) ∫x2xdx； (6) ∫mxndx； (7) ∫5x3dx； (8) ∫(x2−3x+2)dx； (9) ∫2ghdh (g是常数)； (10) ∫(x2+1)2dx； (11) ∫(x+1)(x3−1)dx；(12) ∫x(1−x)2dx； (13) ∫(2ex+x3)dx； (14) ∫(1+x23−1−x22)dx； (15) ∫ex(1−xe−x)dx； (16) ∫3xexdx； (17) ∫3x2⋅3x−5⋅2xdx； (18) ∫sec x(sec x−tan x)dx； (19) ∫cos22xdx； (20) ∫1+cos 2xdx； (21) ∫cos x−sin xcos 2xdx； (22) ∫cos2 xsin2 xcos 2xdx； (23) ∫cot2 xdx； (24) ∫cos θ(tan θ+sec θ)dθ； (25) ∫x2+1x2dx； (26) ∫x2+13x4+2x2dx.

解：

(1)∫dxx2=∫x−2dx=x−2+1−2+1+C=−1x+C(2)∫xxdx=∫x32dx=x32+132+1+C=25x52+C(3)∫dxx=∫x−12dx=x−12+1−12+1+C=2x+C(4)∫x2x3dx=∫x73dx=x73+173+1+C=310x103+C(5)∫dxx2x=∫x−52dx=x−52+1−52+1+C=−23x−32+C(6)∫xnmdx=∫xnmdx=xnm+1nm+1+C=mm+nxm+nm+C(7)∫5x3dx=5x3+13+1+C=54x4+C(8)∫(x2−3x+2)dx=∫x2dx−3∫xdx+2∫dx=13x3−32x2+2x+C(9)∫dh2gh=12g∫h−12dh=2hg+C(10)∫(x2+1)2dx=∫(x4+2x2+1)dx=∫x4dx+2∫x2dx+∫dx=15x5+23x3+x+C(11)∫(x+1)(x3−1)dx=∫(x2+x32−x12−1)dx=∫x2dx+∫x32dx−∫x12dx−∫dx=13x3+25x52−23x32−x+C(12)∫(1−x)2xdx=∫(x32−2x12+x−12)dx=∫x32dx−2∫x12dx+∫x−12dx=25x52−43x32+2x12+C(13)∫(2ex+3x)dx=2∫exdx+3∫dxx=2ex+3ln∣x∣+C(14)∫(31+x2−21−x2)dx=3∫dx1+x2−2∫dx1−x2=3arctanx−2arcsinx+C(15)∫ex(1−e−xx)dx=∫exdx−∫x−12dx=ex−2x12+C(16)∫3xexdx=∫(3e)xdx=(3e)xln(3e)+C=3xexln3+1+C(17)∫2⋅3x−5⋅2x3xdx=2∫dx−5∫(23)xdx=2x−5ln23(23)x+C=2x−5ln2−ln3(23)x+C(18)∫secx(secx−tanx)dx=∫sec2xdx−∫secxtanxdx=tanx−secx+C(19)∫cos2x2dx=∫1+cosx2dx=x+sinx2+C(20)∫dx1+cos2x=∫sec2x2dx=12tanx+C(21)∫cos2xcosx−sinxdx=∫cos2x−sin2xcosx−sinxdx=sinx−cosx+C(22)∫cos2xcos2xsin2xdx=∫cos2x−sin2xcos2xsin2xdx=∫(csc2x−sec2x)dx=∫csc2xdx−∫sec2xdx=−cotx−tanx+C(23)∫cot2xdx=∫csc2xdx−∫dx=−cotx−x+C(24)∫cosθ(tanθ+secθ)dθ=∫sinθdθ+∫dθ=−cosθ+θ+C(25)∫x2x2+1dx=∫dx−∫1x2+1dx=x−arctanx+C(26)∫3x4+2x2x2+1dx=∫3x2dx−∫dx+∫1x2+1dx=x3−x+arctanx+C\begin{aligned} &\ \ (1)\ \int \frac{dx}{x^2}=\int x^{-2}dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=-\frac{1}{x}+C\\\\ &\ \ (2)\ \int x\sqrt{x}dx=\int x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C\\\\ &\ \ (3)\ \int \frac{dx}{\sqrt{x}}=\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=2\sqrt{x}+C\\\\ &\ \ (4)\ \int x^2\sqrt[3]{x}dx=\int x^{\frac{7}{3}}dx=\frac{x^{\frac{7}{3}+1}}{\frac{7}{3}+1}+C=\frac{3}{10}x^{\frac{10}{3}}+C\\\\ &\ \ (5)\ \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x}}=\int x^{-\frac{5}{2}}dx=\frac{x^{-\frac{5}{2}+1}}{-\frac{5}{2}+1}+C=-\frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}}+C\\\\ &\ \ (6)\ \int \sqrt[m]{x^n}dx=\int x^{\frac{n}{m}}dx=\frac{x^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}+C=\frac{m}{m+n}x^{\frac{m+n}{m}}+C\\\\ &\ \ (7)\ \int 5x^3dx=5\frac{x^{3+1}}{3+1}+C=\frac{5}{4}x^4+C\\\\ &\ \ (8)\ \int (x^2-3x+2)dx=\int x^2dx-3\int xdx+2\int dx=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x+C\\\\ &\ \ (9)\ \int \frac{dh}{\sqrt{2gh}}=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int h^{-\frac{1}{2}}dh=\sqrt{\frac{2h}{g}}+C\\\\ &\ \ (10)\ \int (x^2+1)^2dx=\int (x^4+2x^2+1)dx=\int x^4dx+2\int x^2dx+\int dx=\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x+C\\\\ &\ \ (11)\ \int (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^3}-1)dx=\int (x^2+x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}-1)dx=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \int x^2dx+\int x^{\frac{3}{2}}dx-\int x^{\frac{1}{2}}dx-\int dx=\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x+C\\\\ &\ \ (12)\ \int \frac{(1-x)^2}{\sqrt{x}}dx=\int (x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})dx=\int x^{\frac{3}{2}}dx-2\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C\\\\ &\ \ (13)\ \int \left(2e^x+\frac{3}{x}\right)dx=2\int e^xdx+3\int \frac{dx}{x}=2e^x+3ln\ |x|+C\\\\ &\ \ (14)\ \int \left(\frac{3}{1+x^2}-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx=3\int \frac{dx}{1+x^2}-2\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=3arctan\ x-2arcsin\ x+C\\\\ &\ \ (15)\ \int e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right)dx=\int e^xdx-\int x^{-\frac{1}{2}}dx=e^x-2x^{\frac{1}{2}}+C\\\\ &\ \ (16)\ \int 3^xe^xdx=\int (3e)^xdx=\frac{(3e)^x}{ln(3e)}+C=\frac{3^xe^x}{ln\ 3+1}+C\\\\ &\ \ (17)\ \int \frac{2\cdot 3^x-5\cdot 2^x}{3^x}dx=2\int dx-5\int \left(\frac{2}{3}\right)^xdx=2x-\frac{5}{ln\ \frac{2}{3}}\left(\frac{2}{3}\right)^x+C=2x-\frac{5}{ln\ 2-ln\ 3}\left(\frac{2}{3}\right)^x+C\\\\ &\ \ (18)\ \int sec\ x(sec\ x-tan\ x)dx=\int sec^2\ xdx-\int sec\ xtan\ xdx=tan\ x-sec\ x+C\\\\ &\ \ (19)\ \int cos^2 \frac{x}{2}dx=\int \frac{1+cos\ x}{2}dx=\frac{x+sin\ x}{2}+C\\\\ &\ \ (20)\ \int \frac{dx}{1+cos\ 2x}=\int \frac{sec^2\ x}{2}dx=\frac{1}{2}tan\ x+C\\\\ &\ \ (21)\ \int \frac{cos\ 2x}{cos\ x-sin\ x}dx=\int \frac{cos^2\ x-sin^2\ x}{cos\ x-sin\ x}dx=sin\ x-cos\ x+C\\\\ &\ \ (22)\ \int \frac{cos\ 2x}{cos^2\ xsin^2\ x}dx=\int \frac{cos^2\ x-sin^2\ x}{cos^2\ xsin^2\ x}dx=\int (csc^2\ x-sec^2\ x)dx=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \int csc^2\ xdx-\int sec^2\ xdx=-cot\ x-tan\ x+C\\\\ &\ \ (23)\ \int cot^2\ xdx=\int csc^2\ xdx-\int dx=-cot\ x-x+C\\\\ &\ \ (24)\ \int cos\ \theta(tan\ \theta+sec\ \theta)d\theta=\int sin\ \theta d\theta+\int d\theta=-cos\ \theta+\theta+C\\\\ &\ \ (25)\ \int \frac{x^2}{x^2+1}dx=\int dx-\int \frac{1}{x^2+1}dx=x-arctan\ x+C\\\\ &\ \ (26)\ \int \frac{3x^4+2x^2}{x^2+1}dx=\int 3x^2dx-\int dx+\int \frac{1}{x^2+1}dx=x^3-x+arctan\ x+C & \end{aligned} (1) ∫x2dx=∫x−2dx=−2+1x−2+1+C=−x1+C (2) ∫xxdx=∫x23dx=23+1x23+1+C=52x25+C (3) ∫xdx=∫x−21dx=−21+1x−21+1+C=2x+C (4) ∫x23xdx=∫x37dx=37+1x37+1+C=103x310+C (5) ∫x2xdx=∫x−25dx=−25+1x−25+1+C=−32x−23+C (6) ∫mxndx=∫xmndx=mn+1xmn+1+C=m+nmxmm+n+C (7) ∫5x3dx=53+1x3+1+C=45x4+C (8) ∫(x2−3x+2)dx=∫x2dx−3∫xdx+2∫dx=31x3−23x2+2x+C (9) ∫2ghdh=2g1∫h−21dh=g2h+C (10) ∫(x2+1)2dx=∫(x4+2x2+1)dx=∫x4dx+2∫x2dx+∫dx=51x5+32x3+x+C (11) ∫(x+1)(x3−1)dx=∫(x2+x23−x21−1)dx= ∫x2dx+∫x23dx−∫x21dx−∫dx=31x3+52x25−32x23−x+C (12) ∫x(1−x)2dx=∫(x23−2x21+x−21)dx=∫x23dx−2∫x21dx+∫x−21dx=52x25−34x23+2x21+C (13) ∫(2ex+x3)dx=2∫exdx+3∫xdx=2ex+3ln ∣x∣+C (14) ∫(1+x23−1−x22)dx=3∫1+x2dx−2∫1−x2dx=3arctan x−2arcsin x+C (15) ∫ex(1−xe−x)dx=∫exdx−∫x−21dx=ex−2x21+C (16) ∫3xexdx=∫(3e)xdx=ln(3e)(3e)x+C=ln 3+13xex+C (17) ∫3x2⋅3x−5⋅2xdx=2∫dx−5∫(32)xdx=2x−ln 325(32)x+C=2x−ln 2−ln 35(32)x+C (18) ∫sec x(sec x−tan x)dx=∫sec2 xdx−∫sec xtan xdx=tan x−sec x+C (19) ∫cos22xdx=∫21+cos xdx=2x+sin x+C (20) ∫1+cos 2xdx=∫2sec2 xdx=21tan x+C (21) ∫cos x−sin xcos 2xdx=∫cos x−sin xcos2 x−sin2 xdx=sin x−cos x+C (22) ∫cos2 xsin2 xcos 2xdx=∫cos2 xsin2 xcos2 x−sin2 xdx=∫(csc2 x−sec2 x)dx= ∫csc2 xdx−∫sec2 xdx=−cot x−tan x+C (23) ∫cot2 xdx=∫csc2 xdx−∫dx=−cot x−x+C (24) ∫cos θ(tan θ+sec θ)dθ=∫sin θdθ+∫dθ=−cos θ+θ+C (25) ∫x2+1x2dx=∫dx−∫x2+11dx=x−arctan x+C (26) ∫x2+13x4+2x2dx=∫3x2dx−∫dx+∫x2+11dx=x3−x+arctan x+C

3.含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程dydx=f(x).其中dydx为未知函数的导数，f(x)为已知函数。如果将函数y=φ(x)代入微分方程，使微分方程称为恒等式，那么函数y=φ(x)就称为该微分方程的解。求下列微分方程满足所给条件的解：\begin{aligned}&3. \ 含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程\frac{dy}{dx}=f(x).其中\frac{dy}{dx}为未知函数的导数，\\\\&\ \ \ \ f(x)为已知函数。如果将函数y=\varphi(x)代入微分方程，使微分方程称为恒等式，那么函数y=\varphi(x)\\\\&\ \ \ \ 就称为该微分方程的解。求下列微分方程满足所给条件的解：&\end{aligned}3. 含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程dxdy=f(x).其中dxdy为未知函数的导数， f(x)为已知函数。如果将函数y=φ(x)代入微分方程，使微分方程称为恒等式，那么函数y=φ(x) 就称为该微分方程的解。求下列微分方程满足所给条件的解：

(1)dydx=(x−2)2，y∣x=2=0；(2)d2xdy2=2t3，dxdt∣t=1=1，x∣t=1=1.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{dy}{dx}=(x-2)^2，y|_{x=2}=0；\\\\ &\ \ (2)\ \ \frac{d^2x}{dy^2}=\frac{2}{t^3}，\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=1}=1，x|_{t=1}=1. & \end{aligned} (1) dxdy=(x−2)2，y∣x=2=0； (2) dy2d2x=t32，dtdx∣∣t=1=1，x∣t=1=1.

解：

(1)y=∫(x−2)2dx=13(x−2)3+C，由y∣x=2=0，得C=0，因此，y=13(x−2)3.(2)dxdt=∫2t3dt=−1t2+C0，由dxdt∣t=1=1，得C0=2，因此，dxdt=−1t2+2，x=∫(−1t2+2)dt=1t+2t+C1，由x∣t=1=1，得C1=−2，因此，x=1t+2t−2.\begin{aligned} &\ \ (1)\ y=\int (x-2)^2dx=\frac{1}{3}(x-2)^3+C，由y|_{x=2}=0，得C=0，因此，y=\frac{1}{3}(x-2)^3.\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dx}{dt}=\int \frac{2}{t^3}dt=-\frac{1}{t^2}+C_0，由\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=1}=1，得C_0=2，因此，\frac{dx}{dt}=-\frac{1}{t^2}+2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\int \left(-\frac{1}{t^2}+2\right)dt=\frac{1}{t}+2t+C_1，由x|_{t=1}=1，得C_1=-2，因此，x=\frac{1}{t}+2t-2. & \end{aligned} (1) y=∫(x−2)2dx=31(x−2)3+C，由y∣x=2=0，得C=0，因此，y=31(x−2)3. (2) dtdx=∫t32dt=−t21+C0，由dtdx∣∣t=1=1，得C0=2，因此，dtdx=−t21+2， x=∫(−t21+2)dt=t1+2t+C1，由x∣t=1=1，得C1=−2，因此，x=t1+2t−2.

4.汽车以20m/s的速度在直道上行驶，刹车后匀减速行驶了50m停住，求刹车加速度。可执行下列步骤：\begin{aligned}&4. \ 汽车以20m/s的速度在直道上行驶，刹车后匀减速行驶了50m停住，求刹车加速度。可执行下列步骤：&\end{aligned}4. 汽车以20m/s的速度在直道上行驶，刹车后匀减速行驶了50m停住，求刹车加速度。可执行下列步骤：

(1)求微分方程d2sdt2=−k满足条件dsdt∣t=0=20及s∣t=0=0的解；(2)求使dsdt=0的t值及相应的s值；(3)求使s=50的k值。\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 求微分方程\frac{d^2s}{dt^2}=-k满足条件\frac{ds}{dt}\bigg|_{t=0}=20及s|_{t=0}=0的解；\\\\ &\ \ (2)\ \ 求使\frac{ds}{dt}=0的t值及相应的s值；\\\\ &\ \ (3)\ \ 求使s=50的k值。 & \end{aligned} (1) 求微分方程dt2d2s=−k满足条件dtds∣∣t=0=20及s∣t=0=0的解； (2) 求使dtds=0的t值及相应的s值； (3) 求使s=50的k值。

解：

(1)dsdt=∫−kdt=−kt+C0，由dsdt∣t=0=20，得C0=20，因此，dsdt=−kt+20，s=∫(−kt+20)dt=−12kt2+20t+C1，由s∣t=0=0，得C1=0，因此，s=−12kt2+20t.(2)令dsdt=0，得t=20k.(3)当t=20k时，s=50，即−12k(20k)2+400k=50，得k=4，因此，刹车加速度为−4m/s2.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{ds}{dt}=\int -kdt=-kt+C_0，由\frac{ds}{dt}\bigg|_{t=0}=20，得C_0=20，因此，\frac{ds}{dt}=-kt+20，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ s=\int (-kt+20)dt=-\frac{1}{2}kt^2+20t+C_1，由s|_{t=0}=0，得C_1=0，因此，s=-\frac{1}{2}kt^2+20t.\\\\ &\ \ (2)\ 令\frac{ds}{dt}=0，得t=\frac{20}{k}.\\\\ &\ \ (3)\ 当t=\frac{20}{k}时，s=50，即-\frac{1}{2}k\left(\frac{20}{k}\right)^2+\frac{400}{k}=50，得k=4，因此，刹车加速度为-4m/s^2. & \end{aligned} (1) dtds=∫−kdt=−kt+C0，由dtds∣∣t=0=20，得C0=20，因此，dtds=−kt+20， s=∫(−kt+20)dt=−21kt2+20t+C1，由s∣t=0=0，得C1=0，因此，s=−21kt2+20t. (2) 令dtds=0，得t=k20. (3) 当t=k20时，s=50，即−21k(k20)2+k400=50，得k=4，因此，刹车加速度为−4m/s2.

5.一曲线通过点(e2,3)，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。\begin{aligned}&5. \ 一曲线通过点(e^2, \ 3)，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。&\end{aligned}5. 一曲线通过点(e2, 3)，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。

解：

设曲线方程为y=f(x)，则点(x,y)处的切线斜率为f′(x)，且f′(x)=1x，因此，f(x)=∫1xdx=ln∣x∣+C，又因曲线过点(e2,3)，有f(e2)=ln∣e2∣+C=3，得C=1，则曲线方程为y=lnx+1\begin{aligned} &\ \ 设曲线方程为y=f(x)，则点(x, \ y)处的切线斜率为f'(x)，且f'(x)=\frac{1}{x}，因此，f(x)=\int \frac{1}{x}dx=ln\ |x|+C，\\\\ &\ \ 又因曲线过点(e^2, \ 3)，有f(e^2)=ln\ |e^2|+C=3，得C=1，则曲线方程为y=ln\ x+1 & \end{aligned} 设曲线方程为y=f(x)，则点(x, y)处的切线斜率为f′(x)，且f′(x)=x1，因此，f(x)=∫x1dx=ln ∣x∣+C，又因曲线过点(e2, 3)，有f(e2)=ln ∣e2∣+C=3，得C=1，则曲线方程为y=ln x+1

6.一物体由静止开始运动，经ts后的速度是3t2m/s，问\begin{aligned}&6. \ 一物体由静止开始运动，经t s后的速度是3t^2\ m/s，问&\end{aligned}6. 一物体由静止开始运动，经ts后的速度是3t2 m/s，问

(1)在3s后物体离开出发点的距离是多少？(2)物体走完360m需要多少时间？\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 在3s后物体离开出发点的距离是多少？\\\\ &\ \ (2)\ \ 物体走完360m需要多少时间？ & \end{aligned} (1) 在3s后物体离开出发点的距离是多少？ (2) 物体走完360m需要多少时间？

解：

(1)设物体自原点沿横轴正向由静止开始运动，移动函数为s=s(t)，则s(t)=∫v(t)dt=∫3t2dt=t3+C，由于s(0)=0，所以s(t)=t3，则s(3)=27，所以3s后物体离开出发点的距离是27m。(2)由t3=360，得t=3603≈7.1，则物体走完360m需要大约7.1s\begin{aligned} &\ \ (1)\ 设物体自原点沿横轴正向由静止开始运动，移动函数为s=s(t)，则s(t)=\int v(t)dt=\int 3t^2dt=t^3+C，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 由于s(0)=0，所以s(t)=t^3，则s(3)=27，所以3s后物体离开出发点的距离是27m。\\\\ &\ \ (2)\ 由t^3=360，得t=\sqrt[3]{360} \approx 7.1，则物体走完360m需要大约7.1s & \end{aligned} (1) 设物体自原点沿横轴正向由静止开始运动，移动函数为s=s(t)，则s(t)=∫v(t)dt=∫3t2dt=t3+C，由于s(0)=0，所以s(t)=t3，则s(3)=27，所以3s后物体离开出发点的距离是27m。 (2) 由t3=360，得t=3360≈7.1，则物体走完360m需要大约7.1s

7.证明函数arcsin(2x−1)，arccos(1−2x)和2arctanx1−x都是1x−x2的原函数。\begin{aligned}&7. \ 证明函数arcsin(2x-1)，arccos(1-2x)和2arctan\sqrt{\frac{x}{1-x}}都是\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}的原函数。&\end{aligned}7. 证明函数arcsin(2x−1)，arccos(1−2x)和2arctan1−xx都是x−x21的原函数。

解：

[arcsin(2x−1)]′=21−(2x−1)2=1x−x2[arccos(1−2x)]′=−−21−(1−2x)2=1x−x2(2arctanx1−x)′=211+x1−x⋅121−xx⋅1(1−x)2=1x−x2\begin{aligned} &\ \ [arcsin(2x-1)]'=\frac{2}{\sqrt{1-(2x-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\\\\ &\ \ [arccos(1-2x)]'=-\frac{-2}{\sqrt{1-(1-2x)^2}}=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\\\\ &\ \ \left(2arctan\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)'=2\frac{1}{1+\frac{x}{1-x}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{x}}\cdot \frac{1}{(1-x)^2}=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}} & \end{aligned} [arcsin(2x−1)]′=1−(2x−1)22=x−x21 [arccos(1−2x)]′=−1−(1−2x)2−2=x−x21 (2arctan1−xx)′=21+1−xx1⋅21x1−x⋅(1−x)21=x−x21

高等数学（第七版）同济大学习题4-1 个人解答相关推荐

《高等数学》第七版同济大学
<高等数学> 第七版同济大学上册第一章函数与极限第一节映射与函数一映射映射概念法则像原像定义域值域构成映射的三要素满射[映射] 单射双射[一一映射] 逆映 ...
高等数学第七版-习题解答：总复习3
习题解答:总复习3 18*. 已知f′′(x)f''(x)f′′(x)存在,证明 lim⁡x→x0f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)h2=f′′(x0)\lim_{x \rightarrow ...
【课后习题】高等数学第七版下第十二章无穷级数第二节常数项级数的审敛法
习题12-2 1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 1+13+15+⋯+1(2n−1)+⋯1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac ...
【课后习题】高等数学第七版上第三章微分中值定理与导数的应用第二节洛必达法则
习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限: (1) lim⁡x→0ln⁡(1+x)x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}limx→0xln(1+x) ...
【课后习题】高等数学第七版上第一章函数与极限第六节极限存在准则两个重要极限
习题1-6 1. 计算下列极限: (1) lim⁡x→0sin⁡ωxx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \omega x}{x}limx→0xsinωx; (2 ...
【课后习题】高等数学第七版下第九章多元函数微分法及其应用第九节二元函数的泰勒公式
习题9-9 1. 求函数 f(x,y)=2x2−xy−y2−6x−3y+5f(x, y)=2 x^2-x y-y^2-6 x-3 y+5f(x,y)=2x2−xy−y2−6x−3y+5 在点 (1,− ...
高等数学（上）（第七版同济大学）笔记：函数
第一章函数与极限第一节映射与函数二.函数 (1)函数是特殊的映射,只不过把X集合换成了实数R的子集,把集合Y换成了实数集合R. (2)分段函数是常见的函数. (3)函数的特性有界性 ...
高等数学（上）（第七版同济大学）笔记：映射
第一章函数与极限第一节映射与函数一.映射 1.定义:两个非空集合X,Y,存在法则 f,使X中每个元素 x 按照法则 f 都有唯一确定的 y 与之对应,那么 f 称为从X到Y的映射, ...
计算机网络谢希仁第七版课后习题答案(第四章)
4-1 网络层向上提供的服务有哪两种?是比较其优缺点. 网络层向运输层提供 "面向连接"虚电路(Virtual Circuit)服务或"无连接"数据报服务前者预 ...
《计算机网络》学习笔记----第七版课后习题参考答案第四章
1.网络层向上提供的服务有哪两种?是比较其优缺点.网络层向运输层提供 "面向连接"虚电路(Virtual Circuit)服务或"无连接"数据报服务前者预约了双 ...

最新文章

热门文章